Questão 1 Considere a funçāo
.
a) ( 1 pt ) Determine o dominio de
as assíntotas horizontais e verticais de
, se existirem.
b) ( 1 pt ) Determine os intervalos de crescimento e decrescimento de
e os máximos e mínimos locais de
.
c) (1 pt) Determine a concavidade de
e os pontos de inflexão, se existirem. Esboce o gráfico de
.
a) ( 1 pt ) Determine o dominio de
b) ( 1 pt ) Determine os intervalos de crescimento e decrescimento de
c) (1 pt) Determine a concavidade de
Passo 1
O enunciado dá a função
onde
é uma constante real não nula. Vamos estudar
- o domínio e as assíntotas;
- o sinal de
para ver monotonicidade e extremos locais; - o sinal de
para ver concavidade e pontos de inflexão;
por fim, esboçaremos o gráfico.
Passo 2
Para achar o domínio basta lembrar que não podemos dividir por zero. Logo
Assíntotas:
– vertical em , pois quando
,
;
– horizontal em , pois
.
– vertical em
– horizontal em
Passo 3
Calculamos a primeira derivada usando regra de potência:
Como
para todo
, o sinal de
é apenas o oposto do sinal de
.
- Se
, então em e em : é sempre decrescente e não há máximos nem mínimos locais. - Se
, então em e em : é sempre crescente e também não há extremos locais.
Passo 4
Para a concavidade, achamos a segunda derivada:
O sinal de
depende do sinal de
e do sinal de
:
- Se
, então - para
, dá : concavidade para baixo em ; - para
, dá : concavidade para cima em .
A troca de concavidade ocorre em, mas não pertence ao domínio, logo não há ponto de inflexão.
- para
- Se
, as concavidades invertidas, também sem pontos de inflexão por mesmo motivo.
Passo 5
O gráfico de
é uma hipérbole equilátera com dois ramos:
- para
, ramo em no 2.º quadrante e ramo em no 4.º quadrante; - para
, ramo em no 3.º quadrante e ramo em no 1.º quadrante.
As retase são assíntotas, e marcamos as concavidades em cada ramo.
Resposta
a) . Assíntota vertical em
e horizontal em
.
b) Se :
é decrescente em
e em
, sem extremos. Se
:
é crescente em
e em
, sem extremos.
c) Se : concava para baixo em
e para cima em
, sem pontos de inflexão. Para
: concavidades invertidas, também sem pontos de inflexão. O gráfico é uma hipérbole com assíntotas
e
.
b) Se
c) Se