Questão 1 Considere a funçāo f(x)=c^*x.
a) ( 1 pt ) Determine o dominio de f c as assíntotas horizontais e verticais de f, se existirem.
b) ( 1 pt ) Determine os intervalos de crescimento e decrescimento de f e os máximos e mínimos locais de f.
c) (1 pt) Determine a concavidade de f e os pontos de inflexão, se existirem. Esboce o gráfico de f.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=cx,
onde c é uma constante real não nula. Vamos estudar
  1. o domínio e as assíntotas;
  2. o sinal de f'(x) para ver monotonicidade e extremos locais;
  3. o sinal de f''(x) para ver concavidade e pontos de inflexão;
    por fim, esboçaremos o gráfico.

Passo 2

Para achar o domínio basta lembrar que não podemos dividir por zero. Logo
Assíntotas:
– vertical em , pois quando , ;
– horizontal em , pois .

Passo 3

Calculamos a primeira derivada usando regra de potência:
f'(x) = -,cx^2
Como x^2>0 para todo xneq0, o sinal de f'(x) é apenas o oposto do sinal de c.
  • Se c>0, então f'(x)<0 em (-infty,0) e em (0,infty): f é sempre decrescente e não há máximos nem mínimos locais.
  • Se c<0, então f'(x)>0 em (-infty,0) e em (0,infty): f é sempre crescente e também não há extremos locais.

Passo 4

Para a concavidade, achamos a segunda derivada:
f''(x) = 2,cx^3
O sinal de f''(x) depende do sinal de c e do sinal de x^3:
  • Se c>0, então
    • para x<0, x^3<0 f''(x)<0: concavidade para baixo em (-infty,0);
    • para x>0, x^3>0 f''(x)>0: concavidade para cima em (0,infty).
      A troca de concavidade ocorre em x=0, mas x=0 não pertence ao domínio, logo não há ponto de inflexão.
  • Se c<0, as concavidades invertidas, também sem pontos de inflexão por mesmo motivo.

Passo 5

O gráfico de f(x)=c/x é uma hipérbole equilátera com dois ramos:
  • para c>0, ramo em (-infty,0) no 2.º quadrante e ramo em (0,infty) no 4.º quadrante;
  • para c<0, ramo em (-infty,0) no 3.º quadrante e ramo em (0,infty) no 1.º quadrante.
    As retas x=0 e y=0 são assíntotas, e marcamos as concavidades em cada ramo.

Resposta

a) . Assíntota vertical em e horizontal em .
b) Se : é decrescente em e em , sem extremos. Se : é crescente em e em , sem extremos.
c) Se : concava para baixo em e para cima em , sem pontos de inflexão. Para : concavidades invertidas, também sem pontos de inflexão. O gráfico é uma hipérbole com assíntotas e .

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