Dois centros de pesquisa - o Instituto Alfa e o Centro Beta - trabalham independentemente no desenvolvimento de um novo antibiótico de amplo espectro.
A probabilidade de que o Instituto Alfa consiga desenvolvê-lo é de 70 \%, enquanto a probabilidade de que o Centro Beta obtenha sucesso é de 60%.
Se ambos realizarem suas pesquisas de forma independente, qual é a probabilidade de que pelo menos um deles desenvolva o antibiótico?
82 \%
88 \%
92 \%
94 \%
96 \%

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pergunta o seguinte:
  • Probabilidade do Instituto Alfa ter sucesso: 0,7.
  • Probabilidade do Centro Beta ter sucesso: 0,6.
  • As pesquisas são independentes.
  • Pergunta: qual é a probabilidade de que pelo menos um dos dois desenvolva o antibiótico?

Passo 2

Entender o que significa “pelo menos um”: isso é o evento “Alfa ou Beta (ou ambos) têm sucesso”, que chamamos de união dos eventos. Se denotarmos A = “Alfa tem sucesso” e B = “Beta tem sucesso”, queremos P(A\cup B).

Passo 3

Uma forma prática e muito usada para calcular “pelo menos um” é usar o complemento:
  • O complemento do evento “pelo menos um tem sucesso” é “nenhum dos dois tem sucesso” (ou seja, ambos falham).
  • A regra do complemento diz que
P(A\cup B)=1-P\big((A\cup B)^{c}\big)=1-P(A^{c}\cap B^{c}).

Passo 4

Como os eventos são independentes, a probabilidade das duas falhas simultâneas fatoriza:
P(A^{c}\cap B^{c})=P(A^{c})\cdot P(B^{c}).
Aqui P(A^{c}) é a probabilidade de Alfa falhar e P(B^{c}) a de Beta falhar. Calculamos:
P(A^{c})=1-0,7=0,3,
P(B^{c})=1-0,6=0,4.

Passo 5

Agora calculemos a probabilidade de ambos falharem:
P(A^{c}\cap B^{c})=0,3\cdot 0,4=0,12.

Passo 6

Usando o complemento:
P(A\cup B)=1-0,12=0,88.
Convertendo para porcentagem, isso é 88\%.

Passo 7

Verificação alternativa (para treinar outra visão): usando a fórmula da união
P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B).
Como são independentes, P(A\cap B)=P(A)P(B)=0,7\cdot0,6=0,42. Então
P(A\cup B)=0,7+0,6-0,42=0,88,
mesmo resultado — consistência confirmada. Força aí, você já acertou o raciocínio principal!

Resposta

88\%

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