Em um estudo sobre o crescimento de plantas de uma espécie específica, foi determinado que a altura média das plantas após 6 meses é de 50 cm com um desvio padrão de 8 cm . Suponha que a altura das plantas siga uma distribuição Normal. Qual é a probabilidade de que uma planta aleatória dessa espécie tenha uma altura superior a 52 cm após 6 meses?

Passo 1

O enunciado diz que, depois de 6 meses, a altura média das plantas é de \mu=50 cm e o desvio padrão é \sigma=8 cm. Suponha que a altura siga uma distribuição Normal. A pergunta é: qual é a probabilidade de que uma planta aleatória tenha altura superior a 52 cm após 6 meses? Em símbolos, queremos calcular
P(X>52).

Passo 2

Explicando devagar o que significa “distribuição Normal” e os símbolos: dizer que X tem distribuição Normal com média \mu e desvio padrão \sigma é escrever
X\sim N(\mu,\sigma^2).
Aqui \mu indica o valor médio esperado (o “centro”) e \sigma mede a dispersão dos valores ao redor da média. A função que dá probabilidades acumuladas para essa distribuição é a função de distribuição cumulativa (CDF), normalmente denotada por \Phi quando usamos a Normal padrão (média 0 e desvio 1).

Passo 3

Para calcular probabilidades com a Normal, usamos um procedimento padrão chamado padronização. Definimos a variável Normal padrão Z por
Z=\frac{X-\mu}{\sigma}.
Aqui Z tem distribuição Normal padrão, ou seja Z\sim N(0,1). A ideia é transformar qualquer Normal em uma Normal com média 0 e desvio 1, porque as tabelas e funções para a Normal padrão já são conhecidas.

Passo 4

Aplicando a padronização ao nosso caso: queremos P(X>52). Calculamos o valor de z correspondente a x=52:
z=\frac{52-\mu}{\sigma}=\frac{52-50}{8}=\frac{2}{8}=0,25.
Portanto
P(X>52)=P\!\left(Z>0,25\right).

Passo 5

Agora use a relação entre a CDF da Normal padrão \Phi e a probabilidade que queremos:
P\!\left(Z>0,25\right)=1-\Phi(0,25).
Explicando: \Phi(0,25) é a probabilidade de Z ser menor ou igual a 0,25. Como a totalidade das probabilidades é 1, a probabilidade de ser maior que 0,25 é 1-\Phi(0,25).

Passo 6

Para obter \Phi(0,25) consultamos uma tabela da Normal padrão ou usamos uma calculadora/softeware estatístico. O valor conhecido é aproximadamente
\Phi(0,25)\approx 0,5987.
Substituindo:
P\!\left(Z>0,25\right)=1-0,5987=0,4013.
Se preferir interpretar em porcentagem, isso equivale a cerca de 40,13\%.

Passo 7

Interpretação final: a probabilidade de uma planta ser mais alta que 52 cm é cerca de 0,4013. Isso significa que, numa grande coleção de plantas iguais, aproximadamente 40\% ultrapassariam 52 cm aos 6 meses.

Resposta

\,0,4013 \approx 40,13\%

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