A função densidade de probabilidade de probabilidade (ou distribuição de probabilidade) de uma variável aleatória X é
0,5
f(x)=\left\{\begin{array}{cc} \frac{1}{8}(5-x), & 1 \leq x \leq 5 \\\\ 0, & \text { caso contrário } \end{array}\right.á
Calcule a probabilidade P(1<x<2,6)=

Passo 1

O enunciado dá a função densidade de probabilidade
f(x)=\begin{cases} \frac{1}{8}(5-x), & 1\le x\le 5,\\[4pt] 0, & \text{caso contrário.} \end{cases}á
e pede a probabilidade \,P(1<x<2,6). Informações relevantes:
  • A densidade está definida e é não nula apenas no intervalo [1,5].
  • O ponto 2,6 (ou seja, 2,6) pertence ao intervalo [1,5], então a probabilidade pedida é a integral da densidade entre 1 e 2,6.
  • Para variável contínua, P(a<X<b)=\displaystyle\int_{a}^{b} f(x)\,dx. A desigualdade estrita ou inclusiva não altera o valor da probabilidade para variáveis contínuas.]

Passo 2

Explicando a ideia (passo-a-passo didático): a função densidade f(x) dá “área por unidade” sobre o eixo x. A probabilidade de X cair num intervalo (a,b) é a área sob f(x) entre x=a e x=b. Matematicamente usamos a integral definida:
P(a<X<b)=\int_{a}^{b} f(x)\,dx.
Aqui a=1 e b=2,6. Vou aplicar essa fórmula diretamente.

Passo 3

Montamos a integral correspondente:
P(1<X<2,6)=\int_{1}^{2,6}\frac{1}{8}(5-x)\,dx.
Observação: a constante \tfrac{1}{8} pode ser fatorada para fora da integral.

Passo 4

Calculemos a primitiva (antiderivada). Primeiro encontramos
\int (5-x)\,dx = 5x - \frac{x^{2}}{2} + C,
porque a integral de 5 é 5x e a integral de -x é -\tfrac{x^{2}}{2}. Como há o fator \tfrac{1}{8},
\int \frac{1}{8}(5-x)\,dx = \frac{1}{8}\left(5x - \frac{x^{2}}{2}\right) + C.

Passo 5

Agora avaliamos a integral definida usando a primitiva nos limites 1 e 2,6. Para manter exatidão converto 2,6 para fração: 2,6=\tfrac{13}{5}.
Calcule para x=\tfrac{13}{5}:
5x - \frac{x^{2}}{2}=5\cdot\frac{13}{5}-\frac{1}{2}\left(\frac{13}{5}\right)^{2} =13-\frac{169}{50}=\frac{481}{50}.
Calcule para x=1:
5x-\frac{x^{2}}{2}=5-\frac{1}{2}=\frac{9}{2}=\frac{225}{50}.
A diferença é
\frac{481}{50}-\frac{225}{50}=\frac{256}{50}=\frac{128}{25}.
Multiplicando pelo \tfrac{1}{8} externo:
P(1<X<2,6)=\frac{1}{8}\cdot\frac{128}{25}=\frac{128}{200}=\frac{16}{25}.
Convertendo para decimal (usando vírgula conforme pedido): \frac{16}{25}=0,64.

Passo 6

Interpretação final curta: a área sob a curva da densidade entre 1 e 2,6 é \tfrac{16}{25}, ou seja 0,64. Boa! Conseguiu ver passo a passo como montar a integral, achar a primitiva e avaliar com atenção aos limites — é exatamente o procedimento que você usará na prova.

Resposta

\dfrac{16}{25}=0,64

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