Seja
uma amostra aleatória proveniente de uma população tendo média
e variância
. Considere os seguintes estimadores de
:
(a) Os dois estimadores são não-tendenciosos? (b) Qual é o melhor estimador? Em que sentido ele é melhor? Calcule a eficiência relativa dos dois estimadores.
Passo 1
O enunciado dá uma amostra aleatória
de uma população com média
e variância
. São definidos dois estimadores de
:
As perguntas são:
(a) Os dois estimadores são não-tendenciosos?
(b) Qual é o melhor estimador? Em que sentido ele é melhor? Calcule a eficiência relativa dos dois estimadores.
(a) Os dois estimadores são não-tendenciosos?
(b) Qual é o melhor estimador? Em que sentido ele é melhor? Calcule a eficiência relativa dos dois estimadores.
Informações relevantes fornecidas:
-
para todo . -
para todo . - Presumimos que as observações
são independentes (isto é padrão em amostras aleatórias), o que usaremos ao calcular variâncias de combinações lineares.
Passo 2
Vamos verificar se os estimadores são não-tendenciosos. Primeiro lembro dois fatos importantes (explico devagar):
- Linearidade da esperança: para quaisquer constantes
e variáveis aleatórias vale . - Se
, então para constante .
Calcule
:
Como cada
, a soma é
. Assim
Portanto
é não-tendencioso.
Agora
. Pela linearidade da esperança:
Substituindo
obtemos
Logo
também é não-tendencioso.
Passo 3
Agora vamos calcular as variâncias. Primeiro lembro a regra principal que usaremos:
- Se
e são independentes, . Em geral, para combinação linear de variáveis independentes, a variância é a soma dos quadrados dos coeficientes multiplicados pelas variâncias individuais.
Calcule
. Escrevendo
e usando independência:
Expliquei: cada termo tem variância
, coeficiente
, e somamos 7 termos.
Passo 4
Calcule
. Escrevemos
. Usando a propriedade da variância para combinação linear de variáveis independentes:
Como
são independentes,
Portanto
Passo 5
Comparação e interpretação: ambos os estimadores são não-tendenciosos (já mostrado), então um critério natural para escolher o “melhor” é aquele com menor variância — porque, para estimadores não-tendenciosos, o erro quadrático médio (MSE) é exatamente a variância. Assim o estimador com menor variância tem menor dispersão em torno de
e é preferível em termos de precisão.
Aqui:
Claramente
. Portanto
é melhor que
no sentido de menor variância (e menor MSE, já que ambos são não-tendenciosos).
Passo 6
Agora a eficiência relativa. Definição prática que usarei: a eficiência relativa de um estimador
em relação a
é
Isso dá um número >1 quando
é melhor (menor variância). Calculemos:
Eficiência de
relativamente a
:
Isto significa que
tem variância
vezes menor que
(ou, dito de outro modo, precisamos de 10,5 vezes mais observações desse tipo para
atingir a mesma precisão de
sob esse critério).
Eficiência de
relativamente a
é o recíproco:
Resposta
(a)
e
são não-tendenciosos (ambos têm esperança
).
(b) O melhor estimador é no sentido de menor variância (logo menor MSE, já que ambos são não-tendenciosos).
Eficiência relativa
Eficiência relativa
(b) O melhor estimador é
Eficiência relativa
Eficiência relativa