Seja X_{1}, X_{2}, \ldots, X_{1} uma amostra aleatória proveniente de uma população tendo média \mu e variância \sigma^{2}. Considere os seguintes estimadores de \mu :
\begin{aligned} \Theta_{1} & =\frac{X_{1}+X_{2}+\cdots+X_{7}}{7} \\\ \Theta_{2} & =\frac{2 X_{1}-X_{6}+X_{4}}{2} \end{aligned}
(a) Os dois estimadores são não-tendenciosos? (b) Qual é o melhor estimador? Em que sentido ele é melhor? Calcule a eficiência relativa dos dois estimadores.

Passo 1

O enunciado dá uma amostra aleatória X_{1},X_{2},\ldots de uma população com média \mu e variância \sigma^{2}. São definidos dois estimadores de \mu:
\Theta_{1}=\frac{X_{1}+X_{2}+\cdots+X_{7}}{7},
\Theta_{2}=\frac{2X_{1}-X_{6}+X_{4}}{2}.
As perguntas são:
(a) Os dois estimadores são não-tendenciosos?
(b) Qual é o melhor estimador? Em que sentido ele é melhor? Calcule a eficiência relativa dos dois estimadores.
Informações relevantes fornecidas:
  • E(X_i)=\mu para todo i.
  • \operatorname{Var}(X_i)=\sigma^{2} para todo i.
  • Presumimos que as observações X_i são independentes (isto é padrão em amostras aleatórias), o que usaremos ao calcular variâncias de combinações lineares.

Passo 2

Vamos verificar se os estimadores são não-tendenciosos. Primeiro lembro dois fatos importantes (explico devagar):
  • Linearidade da esperança: para quaisquer constantes a,b e variáveis aleatórias Y,Z vale E(aY+bZ)=aE(Y)+bE(Z).
  • Se E(X_i)=\mu, então E(c X_i)=c\mu para constante c.
Calcule E(\Theta_{1}):
E(\Theta_{1})=E\!\left(\frac{X_{1}+X_{2}+\cdots+X_{7}}{7}\right) =\frac{1}{7}\big(E(X_{1})+\cdots+E(X_{7})\big).
Como cada E(X_i)=\mu, a soma é 7\mu. Assim
E(\Theta_{1})=\frac{1}{7}\cdot 7\mu=\mu.
Portanto \Theta_{1} é não-tendencioso.
Agora E(\Theta_{2}). Pela linearidade da esperança:
E(\Theta_{2})=E\!\left(\frac{2X_{1}-X_{6}+X_{4}}{2}\right) =\frac{1}{2}\big(2E(X_{1})-E(X_{6})+E(X_{4})\big).
Substituindo E(X_i)=\mu obtemos
E(\Theta_{2})=\frac{1}{2}(2\mu-\mu+\mu)=\frac{1}{2}\cdot 2\mu=\mu.
Logo \Theta_{2} também é não-tendencioso.

Passo 3

Agora vamos calcular as variâncias. Primeiro lembro a regra principal que usaremos:
  • Se Y e Z são independentes, \operatorname{Var}(aY+bZ)=a^{2}\operatorname{Var}(Y)+b^{2}\operatorname{Var}(Z). Em geral, para combinação linear de variáveis independentes, a variância é a soma dos quadrados dos coeficientes multiplicados pelas variâncias individuais.
Calcule \operatorname{Var}(\Theta_{1}). Escrevendo \Theta_{1}=\frac{1}{7}\sum_{i=1}^{7}X_{i} e usando independência:
\operatorname{Var}(\Theta_{1}) =\frac{1}{7^{2}}\sum_{i=1}^{7}\operatorname{Var}(X_{i}) =\frac{1}{49}\cdot 7\sigma^{2} =\frac{\sigma^{2}}{7}.
Expliquei: cada termo tem variância \sigma^{2}, coeficiente \frac{1}{7}, e somamos 7 termos.

Passo 4

Calcule \operatorname{Var}(\Theta_{2}). Escrevemos \Theta_{2}=\frac{1}{2}(2X_{1}-X_{6}+X_{4}). Usando a propriedade da variância para combinação linear de variáveis independentes:
\operatorname{Var}(\Theta_{2}) =\frac{1}{4}\,\operatorname{Var}(2X_{1}-X_{6}+X_{4}).
Como X_{1},X_{6},X_{4} são independentes,
\operatorname{Var}(2X_{1}-X_{6}+X_{4}) =2^{2}\operatorname{Var}(X_{1})+(-1)^{2}\operatorname{Var}(X_{6})+1^{2}\operatorname{Var}(X_{4}) =4\sigma^{2}+1\sigma^{2}+1\sigma^{2}=6\sigma^{2}.
Portanto
\operatorname{Var}(\Theta_{2})=\frac{1}{4}\cdot 6\sigma^{2}=\frac{6}{4}\sigma^{2}=\frac{3}{2}\sigma^{2}.

Passo 5

Comparação e interpretação: ambos os estimadores são não-tendenciosos (já mostrado), então um critério natural para escolher o “melhor” é aquele com menor variância — porque, para estimadores não-tendenciosos, o erro quadrático médio (MSE) é exatamente a variância. Assim o estimador com menor variância tem menor dispersão em torno de \mu e é preferível em termos de precisão.
Aqui:
\operatorname{Var}(\Theta_{1})=\frac{\sigma^{2}}{7}\quad\text{e}\quad \operatorname{Var}(\Theta_{2})=\frac{3}{2}\sigma^{2}.
Claramente \frac{\sigma^{2}}{7}<\frac{3}{2}\sigma^{2}. Portanto \Theta_{1} é melhor que \Theta_{2} no sentido de menor variância (e menor MSE, já que ambos são não-tendenciosos).

Passo 6

Agora a eficiência relativa. Definição prática que usarei: a eficiência relativa de um estimador A em relação a B é
\text{eff}(A,B)=\frac{\operatorname{Var}(B)}{\operatorname{Var}(A)}.
Isso dá um número >1 quando A é melhor (menor variância). Calculemos:
Eficiência de \Theta_{1} relativamente a \Theta_{2}:
\text{eff}(\Theta_{1},\Theta_{2}) =\frac{\operatorname{Var}(\Theta_{2})}{\operatorname{Var}(\Theta_{1})} =\frac{\tfrac{3}{2}\sigma^{2}}{\tfrac{\sigma^{2}}{7}} =\frac{3}{2}\cdot 7=\frac{21}{2}=10{,}5.
Isto significa que \Theta_{1} tem variância 10{,}5 vezes menor que \Theta_{2} (ou, dito de outro modo, precisamos de 10,5 vezes mais observações desse tipo para \Theta_{2} atingir a mesma precisão de \Theta_{1} sob esse critério).
Eficiência de \Theta_{2} relativamente a \Theta_{1} é o recíproco:
\text{eff}(\Theta_{2},\Theta_{1})=\frac{1}{\text{eff}(\Theta_{1},\Theta_{2})=\frac{2}{21}\approx 0{,}095238.}

Resposta

(a) \Theta_{1} e \Theta_{2} são não-tendenciosos (ambos têm esperança \mu).
(b) O melhor estimador é \Theta_{1} no sentido de menor variância (logo menor MSE, já que ambos são não-tendenciosos).
Eficiência relativa \displaystyle \text{eff}(\Theta_{1},\Theta_{2})=\frac{21}{2}=10{,}5.
Eficiência relativa \displaystyle \text{eff}(\Theta_{2},\Theta_{1})=\frac{2}{21}\approx 0{,}095238.

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