Dois ciclos de poténcia reversiveis sao colocados em série. O primeiro ciclo recebe energia por transferéncia de calor de um reservatório a temperatura de 1500 K e rejeita energia para um reservatório a uma temperatura intermediária T. O seigundo ciclo recebe a energia rejeitada pelo primeiro ciclo do reservatório à temperatura T e rejeita energia para um reservatório à temperatura de 300 K , menor do que T. Encontre a temperatura intermediária T quando:
a. o trabalho liquido dos dois ciclos de potência é igual. (10 pts)
Resposta:

Passo 1

O enunciado dá dois ciclos reversíveis (assuma ciclos de máxima eficiência entre pares de reservatórios, isto é, ciclos de Carnot) conectados em série. Informações e o que se pede:
  • Reservatório quente do primeiro ciclo: temperatura \,1500\\ \text{K}\,.
  • Reservatório frio do segundo ciclo: temperatura \,300\\ \text{K}\,.
  • Temperatura intermediária (reservatório frio do primeiro e quente do segundo): \;T\; (com \,300\\ \text{K} < T < 1500\\ \text{K}\,).
  • A energia rejeitada pelo primeiro ciclo é recebida como entrada pelo segundo ciclo (série térmica).
  • Pergunta: determinar \;T\; quando o trabalho líquido do primeiro ciclo é igual ao trabalho líquido do segundo ciclo.

Passo 2

Definimos variáveis e recordamos a fórmula de eficiência de um ciclo reversível (Carnot):
  • Seja \,Q_{h}\, a energia térmica fornecida ao primeiro ciclo a partir do reservatório a \,1500\\ \text{K}\,.
  • Seja \,W_1 o trabalho líquido produzido pelo primeiro ciclo.
  • Seja \,Q_{12} a energia rejeitada pelo primeiro ciclo no reservatório à temperatura \,T (essa mesma \,Q_{12} é a energia fornecida ao segundo ciclo).
  • Seja \,W_2 o trabalho líquido produzido pelo segundo ciclo.
  • Eficiência de um ciclo de Carnot entre temperaturas quentes \,T_h e frias \,T_c é dada por:
\eta = 1 - \frac{T_c}{T_h},
onde \eta é a fração da energia de entrada que vira trabalho, T_h é a temperatura do reservatório quente e T_c a do reservatório frio (ambas em Kelvin).

Passo 3

Escrevemos a eficiência do primeiro ciclo (entre \,1500\\ \text{K} e \,T):
\eta_1 = 1 - \frac{T}{1500}.
Como a energia de entrada ao primeiro ciclo é \,Q_{h}, o trabalho produzido pelo primeiro ciclo é
W_1 = \eta_1 \, Q_{h} = \left(1 - \frac{T}{1500}\right) Q_{h}.
Expliquei: \eta_1 é a fração do calor de entrada que se transforma em trabalho; o restante é rejeitado.

Passo 4

Encontramos a energia rejeitada pelo primeiro ciclo (que vira entrada do segundo):
pela conservação de energia no primeiro ciclo,
Q_{12} = Q_{h} - W_1.
Substituindo W_1:
Q_{12} = Q_{h} - \left(1 - \frac{T}{1500}\right) Q_{h} = \frac{T}{1500}\,Q_{h}.
Comentário: isso mostra que a fração rejeitada é \frac{T}{1500} do calor inicial.

Passo 5

Escrevemos a eficiência do segundo ciclo (entre \,T e \,300\\ \text{K}):
\eta_2 = 1 - \frac{300}{T}.
A energia de entrada do segundo ciclo é Q_{12} = \frac{T}{1500}Q_{h}, logo o trabalho do segundo ciclo é
W_2 = \eta_2 \, Q_{12} = \left(1 - \frac{300}{T}\right)\left(\frac{T}{1500}Q_{h}\right).
Agora simplificamos essa expressão passo a passo:
W_2 = \frac{T}{1500}Q_{h} - \frac{300}{T}\cdot\frac{T}{1500}Q_{h} = \frac{T}{1500}Q_{h} - \frac{300}{1500}Q_{h}.
Cancelando fatores,
W_2 = Q_{h}\left(\frac{T}{1500} - \frac{300}{1500}\right) = Q_{h}\frac{T-300}{1500}.

Passo 6

Imponha a condição pedida: o trabalho líquido dos dois ciclos é igual, isto é,
W_1 = W_2.
Substituindo as expressões obtidas:
\left(1 - \frac{T}{1500}\right) Q_{h} = Q_{h}\frac{T-300}{1500}.
Como Q_{h}\neq 0, podemos dividir ambos os lados por Q_{h}:
1 - \frac{T}{1500} = \frac{T-300}{1500}.

Passo 7

Resolvemos a equação para \,T. Multiplicando ambos os lados por \,1500:
1500 - T = T - 300.
Agrupando termos:
1500 + 300 = 2T \quad\Rightarrow\quad 1800 = 2T.
Portanto,
T = \frac{1800}{2} = 900\\ \text{K}.
Checagem rápida: está entre 300 e 1500 K, como exigido; faz sentido físico.

Resposta

900\\ \text{K}

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