Dois ciclos de poténcia reversiveis sao colocados em série. O primeiro ciclo recebe energia por transferéncia de calor de um reservatório a temperatura de 1500 K e rejeita energia para um reservatório a uma temperatura intermediária T. O seigundo ciclo recebe a energia rejeitada pelo primeiro ciclo do reservatório à temperatura T e rejeita energia para um reservatório à temperatura de 300 K , menor do que T. Encontre a temperatura intermediária T quando:
a. o trabalho liquido dos dois ciclos de potência é igual. (10 pts)
Resposta:
a. o trabalho liquido dos dois ciclos de potência é igual. (10 pts)
Passo 1
O enunciado dá dois ciclos reversíveis (assuma ciclos de máxima eficiência entre pares de reservatórios, isto é, ciclos de Carnot) conectados em série. Informações e o que se pede:
- Reservatório quente do primeiro ciclo: temperatura
. - Reservatório frio do segundo ciclo: temperatura
. - Temperatura intermediária (reservatório frio do primeiro e quente do segundo):
(com ). - A energia rejeitada pelo primeiro ciclo é recebida como entrada pelo segundo ciclo (série térmica).
- Pergunta: determinar
quando o trabalho líquido do primeiro ciclo é igual ao trabalho líquido do segundo ciclo.
Passo 2
Definimos variáveis e recordamos a fórmula de eficiência de um ciclo reversível (Carnot):
- Seja
a energia térmica fornecida ao primeiro ciclo a partir do reservatório a . - Seja
o trabalho líquido produzido pelo primeiro ciclo. - Seja
a energia rejeitada pelo primeiro ciclo no reservatório à temperatura (essa mesma é a energia fornecida ao segundo ciclo). - Seja
o trabalho líquido produzido pelo segundo ciclo. - Eficiência de um ciclo de Carnot entre temperaturas quentes
e frias é dada por:
onde
é a fração da energia de entrada que vira trabalho,
é a temperatura do reservatório quente e
a do reservatório frio (ambas em Kelvin).
Passo 3
Escrevemos a eficiência do primeiro ciclo (entre
e
):
Como a energia de entrada ao primeiro ciclo é
, o trabalho produzido pelo primeiro ciclo é
Expliquei:
é a fração do calor de entrada que se transforma em trabalho; o restante é rejeitado.
Passo 4
Encontramos a energia rejeitada pelo primeiro ciclo (que vira entrada do segundo):
pela conservação de energia no primeiro ciclo,
pela conservação de energia no primeiro ciclo,
Substituindo
:
Comentário: isso mostra que a fração rejeitada é
do calor inicial.
Passo 5
Escrevemos a eficiência do segundo ciclo (entre
e
):
A energia de entrada do segundo ciclo é
, logo o trabalho do segundo ciclo é
Agora simplificamos essa expressão passo a passo:
Cancelando fatores,
Passo 6
Imponha a condição pedida: o trabalho líquido dos dois ciclos é igual, isto é,
Substituindo as expressões obtidas:
Como
, podemos dividir ambos os lados por
:
Passo 7
Resolvemos a equação para
. Multiplicando ambos os lados por
:
Agrupando termos:
Portanto,
Checagem rápida: está entre
e
K, como exigido; faz sentido físico.