Uma placa retangular de alumínio de 16 mm por 16 mm , com 1 mm de espessura, é acoplada sobre a superfície do invólucro de uma CPU. Despreze as laterais, o topo e o fundo da CPU. As superfícies livres do invólucro mais aleta devem remover um mínimo de 1 W , para o ar a 25^{\circ} \mathrm{C}, por convecção. Determine qual a temperatura em { }^{\circ} \mathrm{C} da superfície da placa de alumínio, considerando que a condutividade térmica do ar \mathrm{k}=0,0288 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{\circ} \mathrm{C}, \mathrm{Pr}=0,725, a viscosidade dinâmica \mathrm{v}=1,896 \cdot 10^{-5} \mathrm{~m}^{2} / \mathrm{s}, e o coeficiente de expansão térmica do ar \beta= 1 / 300 \mathrm{~K}.
Passo 1
O que o enunciado pede: determinar a temperatura da superfície da placa de alumínio, em graus Celsius, necessária para que as superfícies livres removam pelo menos 1\\ \mathrm{W} por convecção natural, com o ar ambiente a 25^\circ\mathrm{C}.
Informações fornecidas (todas convertidas para unidades SI quando aplicável):
\text{dimensões da placa: } 16\\ \mathrm{mm}\times16\\ \mathrm{mm},\\ \text{espessura }1\\ \mathrm{mm}
Observações/assunções necessárias (o enunciado é um pouco ambíguo sobre quais superfícies “livres” exatamente entram na troca térmica):
Vou assumir que a placa está colada/encostada na superfície externa do invólucro, de modo que a face externa da placa (a face voltada para o ar) é a única face efetivamente exposta para convecção — ou seja, a área útil de convecção é a face superior da placa. As arestas finas (espessura 1\\ \mathrm{mm}) são desprezíveis.
Assim, área de convecção utilizada:
A = 0{,}016\\ \mathrm{m}\times 0{,}016\\ \mathrm{m} = 2{,}56\times 10^{-4}\\ \mathrm{m^2}.
Se você queria considerar também a face inferior ou as arestas, o resultado numérico mudará; eu comento isso ao final.
A resolução começa no próximo passo.
Passo 2
Modelo físico e correlações a usar (explicação didática do que cada coisa significa):
Em convecção natural a transferência de calor depende da diferença de temperatura entre a superfície e o ar, porque essa diferença gera correntes de convecção (ar mais quente sobe, ar frio desce).
Para placas verticais ou superfícies planas pequenas costuma-se usar correlações empíricas que relacionam números adimensionais:
Número de Grashof: mede a força das correntes naturais devido à flutuação térmica:\mathrm{Gr}_L = \frac{g\,\beta\,\Delta T\,L^3}{\nu^2},onde g é a aceleração da gravidade, \beta é o coeficiente de expansão térmica do fluido (aqui ar), \Delta T = T_s-T_\infty é a diferença entre a temperatura da superfície T_s e o ar ambiente T_\infty, L é o comprimento característico (altura da placa) e \nu é a viscosidade cinemática.
Número de Rayleigh: \mathrm{Ra}_L = \mathrm{Gr}_L\,\mathrm{Pr}, combina efeitos de inércia (Gr) e difusão térmica (Pr).
Número de Nusselt médio \overline{\mathrm{Nu}}_L relaciona a convecção com a condução:\overline{\mathrm{Nu}}_L = \frac{\bar{h}\,L}{k},onde \bar{h} é o coeficiente de transferência convectiva médio (o que queremos) e k é a condutividade térmica do ar.
Vou usar a correlação de Churchill–Chu para placa vertical (válida para uma ampla faixa de \mathrm{Ra}):
Esta fórmula dá o valor médio da Nusselt ao longo da placa de altura L. Depois obtemos \bar{h} = \overline{\mathrm{Nu}}_L \, k / L. Finalmente a potência removida por convecção é
Q = \bar{h}\,A\,\Delta T.
Temos \Delta T desconhecido dentro de \bar{h} (porque \mathrm{Ra} depende de \Delta T), portanto teremos que resolver numericamente uma equação não linear para \Delta T.
Passo 3
Definições numéricas e cálculo de constantes intermediárias:
Comprimento característico (altura da placa): L = 0{,}016\\ \mathrm{m}.
Área (assumida): A = 2{,}56\times10^{-4}\\ \mathrm{m^2}.
Aceleração da gravidade: g = 9{,}81\\ \mathrm{m/s^2}.
Equação de balanço de potência e forma final a resolver:
Energia removida por convecção:
Q = \bar{h}\,A\,\Delta T.
Substituindo \bar{h} e A:
1\\ \mathrm{W} = \bigl(1{,}224 + 3{,}7638\,\Delta T^{1/4}\bigr)\times (2{,}56\times10^{-4})\times\Delta T.
Multiplicando 2{,}56\times10^{-4} para simplificar:
1 = 2{,}56\times10^{-4}\left(1{,}224\,\Delta T + 3{,}7638\,\Delta T^{5/4}\right).
Dividindo ambos os lados por 2{,}56\times10^{-4}:
1{,}224\,\Delta T + 3{,}7638\,\Delta T^{5/4} = 3906{,}25.
Esta é uma equação não linear em \Delta T. Vamos resolvê-la numericamente (método simples de tentativa/iteração e interpolação) para encontrar \Delta T.
Passo 6
Solução numérica por tentativas (explicando os passos):
Fazemos palpites para \Delta T e calculamos o lado esquerdo (LHS) até igualar 3906{,}25.
(para evitar excesso de detalhes, no cálculo real usei exponenciação por logaritmos para precisão.) Calculando a LHS obtém-se bem menor que 3906, então \Delta T precisa ser maior.
Teste 2: \Delta T=240\\ \mathrm{K}.
Cálculo direto mais preciso usando logaritmos/exponenciação:
Q = \bar{h}\,A\,\Delta T \approx 16{,}082\times 2{,}56\times10^{-4}\times 243{,}24 \approx 1{,}0002\\ \mathrm{W}, ou seja, muito próximo de 1\\ \mathrm{W} (bom acordo).
Passo 7
Cálculo da temperatura absoluta da superfície e checagens finais:
\Delta T \approx 243{,}24\\ \mathrm{K} significa que a temperatura da placa é
Verificação da validade da correlação: \mathrm{Ra}_L \approx 270{,}18\times 243{,}24 \approx 6{,}57\times 10^{4}. A correlação de Churchill–Chu é válida nessa faixa (10^4 a 10^9), portanto o uso foi apropriado.
Comentário físico e motivador: o resultado mostra uma temperatura muito alta porque a área útil de convecção é muito pequena. Para dissipar 1\\ \mathrm{W} por convecção natural com uma área tão pequena a diferença de temperatura tem que ser grande.
Passo 8
Observação prática (sensibilidade à área, sem alterar o resultado pedido):
Se, porventura, ambas as faces da placa estivessem expostas ao ar (área efetiva 2A), a temperatura necessária cairia bastante (uma estimativa rápida dá T_s da ordem de 160^\circ\mathrm{C}). Ainda assim continua alta — o ponto é: área pequena ⇒ grande \Delta T para dissipar 1\\ \mathrm{W}.