Dois cilindros metalicos muito longos, de raios a e b, são coaxiais. O cilindro interno tem uma densidade linear de carga positiva uniforme lambda e o cilindro externo tem uma densidade linear de carga negativa uniforme -lambda. Calcule o campo elétrico em função da distância r ao eixo dos cilindros, considerando tanto (a) r, (b) a e © r>b.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que temos dois cilindros metálicos coaxiais, um interno de raio com carga linear positiva , e um externo de raio com carga linear negativa . A matéria aqui é Eletrostática – Lei de Gauss aplicada a simetria cilíndrica e propriedades de condutores (onde o campo elétrico dentro do metal é zero). Vamos precisar lembrar:
  • Dentro de um condutor em equilíbrio eletrostático, .
  • Lei de Gauss: .
  • Para simetria cilíndrica e campo radial: .

Passo 2

Teoria rápida: como os cilindros são metálicos, toda carga fica na superfície. E dentro do metal (ou seja, em qualquer ponto com E,(2pi r L);=;Qrm intvarepsilon0, dentro do volume do cilindro interno) o campo elétrico é zero. Para regiões fora do metal mas com simetria cilíndrica, a gente usa um cilindro gaussiano de raio e comprimento , tira constante, e aplica

Passo 3

Caso 1: E(r)=0para r.
Você está dentro do material do cilindro interno (condutor). Então, por propriedade do condutor,

Passo 4

Caso 2: E(2pi r L)=lambda Lvarepsilon0 Longrightarrow E(r)=lambda2pivarepsilon0,r para a.
Aqui o ponto está no espaço entre os dois cilindros. A única carga interna ao nosso cilindro gaussiano é a do cilindro interno, que é . Logo

Passo 5

Caso 3: E(2pi r L)=0 Longrightarrow E(r)=0para r>b .
Agora a superfície gaussiana envolve as duas cargas: do cilindro interno e do externo. O total . Daí

Resposta

E(r)= 0, & rb

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