Um isolante cilíndrico de raio R, infinitamente longo, possui uma distribuição uniforme de cargas com densidade volumétrica nu>0. Qual é o módulo do campo elétrico E a uma distância rho>R do eixo de simetria do cilindro?
E=nu R^22 epsilon0 rho
(B) E=nu R^24 epsilon0 rho
C E=nu rhoepsilon0
D E=nu rho^22 epsilon0 R
E E=nu rho^24 epsilon0 R

Passo 1

Resumo do enunciado: Temos um cilindro isolante, infinitamente longo, de raio , carregado uniformemente com densidade volumétrica de carga . Queremos achar o módulo do campo elétrico num ponto que fica a uma distância do eixo do cilindro.
Conteúdo da matéria: Lei de Gauss (eletrostática).
O que vamos precisar:
  • Entender simetria cilíndrica do problema
  • Escolher uma superfície gaussiana adequada (cilindro coaxial)
  • Calcular fluxo elétrico e carga interna
  • Aplicar

Passo 2

Escolhendo a superfície gaussiana:
Por simetria cilíndrica, sabemos que o campo elétrico fora do cilindro apontará radialmente para fora e terá o mesmo módulo em todos os pontos a uma dada distância . Então a superfície gaussiana ideal é um cilindro coaxial de raio e comprimento arbitrário .

Passo 3

Cálculo do fluxo elétrico pela superfície gaussiana:
A superfície tem três partes (tampa superior, lateral e tampa inferior), mas só a lateral contribui, pois nas tampas o campo é paralelo à área.
Fluxo na lateral =
Phi = oint Ecdot dA = E(rho);times;l(área lateralr) = E(rho);[2pirho,L] á

Passo 4

Cálculo da carga interna ao cilindro gaussiano:
Toda a carga dentro do raio Qrm int = nu times (volume) = nu,(pi R^2 L) (pois fora disso não há carga) entra na nossa superfície. O volume carregado é , então

Passo 5

Aplicando a Lei de Gauss:
Phi = Qrm intvarepsilon0 Longrightarrow E(rho),[2pirho,L] = nu,pi R^2 Lvarepsilon0
Isolando E(rho) = nu,pi R^2 Lvarepsilon0;2pirho,L = nu,R^22,varepsilon0,rho :

Resposta

boxedE(rho) = nu,R^22,varepsilon0,rho

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