[2,5] Seja dado o sistema linear nas variáveis x, y e z :
\left\{\begin{aligned} 2 x-6 y+4 z & =8 \\\\ -x+5 y-10 z & =-6 \\\\ 6 x-10 y+a z & =b \end{aligned}\right.
(a) [1,0] Usando a matriz ampliada, aplique o método de eliminação de Gauss ao sistema.
(b) [1,0] Determine para quais valores das constantes a e b o sistema possui (i) infinitas soluções; (ii) nenhuma solução; e (iii) uma única solução.
(c) [0,5] Para o caso em que o sistema tem infinitas soluções, escreva a solução geral.
Breve explicação do método: eliminação de Gauss consiste em usar operações elementares nas linhas (trocar linhas; multiplicar uma linha por constante não nula; somar a uma linha um múltiplo de outra) para levar a matriz a uma forma escalonada (ou escalonada reduzida). Na forma escalonada conseguimos ver pivôs (entradas não nulas à esquerda) e aplicar substituição regressiva para achar soluções. Essas operações preservam o conjunto de soluções do sistema.]
Passo 3
Primeira rodada de eliminação: usar a primeira linha como pivô para eliminar as entradas abaixo (coluna 1).
Operações escolhidas (todas válidas):
R_2 \leftarrow R_2 + \tfrac{1}{2}R_1 (elimina o -1 em R_2).
Isto responde a parte (a): a matriz ampliada escalonada é a mostrada acima e as operações foram as indicadas.]
Passo 5
Interpretação da linha final e classificação por casos: a entrada a+20 na posição (3,3) determina o pivô na terceira linha.
Se a+20 \neq 0 então há pivô na coluna 3, a matriz tem três pivôs (um por coluna de incógnita) e o sistema tem solução única.
Se a+20 = 0 (isto é, a=-20) então a terceira linha fica [0\;0\;0\;|\;b-16]. Nesse caso:
se b-16 \neq 0 então a linha é [0\;0\;0\;|\;c] com c\neq 0, equivalente a 0=c impossível → sistema incompatível (nenhuma solução);
se b-16 = 0 então a terceira linha é [0\;0\;0\;|\;0] e o posto da matriz de coeficientes é 2 < número de incógnitas 3 → infinitas soluções (um parâmetro livre).
Vou detalhar cada caso e dar, quando pertinente, a solução explícita.
Passo 6
Caso 1: a+20 \neq 0 (ou seja, a\neq -20). Única solução — cálculo por substituição regressiva.
Se b-16 \neq 0: a última linha é 0= b-16 contraditória → nenhuma solução.
Se b-16 = 0 (ou seja, b=16): a última linha é 0=0. O sistema tem posto 2 e 3 incógnitas → uma família infinita de soluções com um parâmetro livre. Vamos escrever a solução geral.
Tomando z como parâmetro livre t\in\mathbb{R} (escolha comum), das equações escalonadas obtemos: