[2,5] Seja dado o sistema linear nas variáveis x, y e z :
\left\{\begin{aligned} 2 x-6 y+4 z & =8 \\\\ -x+5 y-10 z & =-6 \\\\ 6 x-10 y+a z & =b \end{aligned}\right.
(a) [1,0] Usando a matriz ampliada, aplique o método de eliminação de Gauss ao sistema.
(b) [1,0] Determine para quais valores das constantes a e b o sistema possui (i) infinitas soluções; (ii) nenhuma solução; e (iii) uma única solução.
(c) [0,5] Para o caso em que o sistema tem infinitas soluções, escreva a solução geral.

Passo 1

O enunciado dá o sistema nas incógnitas x,y,z:
\left\{\begin{aligned} 2x-6y+4z&=8,\\\\ -x+5y-10z&=-6,\\\\ 6x-10y+a z&=b. \end{aligned}\right.
O que é pedido:
  • (a) Usar a matriz ampliada e aplicar eliminação de Gauss ao sistema.
  • (b) Determinar para quais valores de a e b o sistema tem (i) infinitas soluções; (ii) nenhuma solução; (iii) uma única solução.
  • (c) No caso de infinitas soluções, escrever a solução geral.
Informações relevantes dadas:
  • Coeficientes das equações e termos independentes são exatamente os mostrados acima.
  • As constantes a e b são parâmetros sobre os quais devemos classificar a situação do sistema.

Passo 2

Vou construir a matriz ampliada do sistema e explicar o método de eliminação de Gauss (passo a passo, bem de boa).
Matriz ampliada inicial (peguei os coeficientes e termos independentes do enunciado):
\left(\begin{array}{ccc|c} 2 & -6 & 4 & 8\\[4pt] -1 & 5 & -10 & -6\\[4pt] 6 & -10 & a & b \end{array}\right).
Breve explicação do método: eliminação de Gauss consiste em usar operações elementares nas linhas (trocar linhas; multiplicar uma linha por constante não nula; somar a uma linha um múltiplo de outra) para levar a matriz a uma forma escalonada (ou escalonada reduzida). Na forma escalonada conseguimos ver pivôs (entradas não nulas à esquerda) e aplicar substituição regressiva para achar soluções. Essas operações preservam o conjunto de soluções do sistema.]

Passo 3

Primeira rodada de eliminação: usar a primeira linha como pivô para eliminar as entradas abaixo (coluna 1).
Operações escolhidas (todas válidas):
  • R_2 \leftarrow R_2 + \tfrac{1}{2}R_1 (elimina o -1 em R_2).
  • R_3 \leftarrow R_3 - 3R_1 (elimina o 6 em R_3).
Calculo detalhado de R_2 + \tfrac{1}{2}R_1:
\begin{array}{rcl} -1 + \tfrac{1}{2}\cdot 2 &=& 0,\\[4pt] 5 + \tfrac{1}{2}\cdot(-6) &=& 5-3=2,\\[4pt] -10 + \tfrac{1}{2}\cdot 4 &=& -10+2=-8,\\[4pt] -6 + \tfrac{1}{2}\cdot 8 &=& -6+4=-2. \end{array}
Portanto R_2 vira [0\;\;2\;\;-8\;\;|\;\;-2].
Calculo detalhado de R_3 - 3R_1:
\begin{array}{rcl} 6 - 3\cdot 2 &=& 0,\\[4pt] -10 - 3\cdot(-6) &=& -10 +18 =8,\\[4pt] a - 3\cdot 4 &=& a-12,\\[4pt] b - 3\cdot 8 &=& b-24. \end{array}
Portanto R_3 vira [0\;\;8\;\;a-12\;\;|\;\;b-24].
A matriz após essas operações:
\left(\begin{array}{ccc|c} 2 & -6 & 4 & 8\\[4pt] 0 & 2 & -8 & -2\\[4pt] 0 & 8 & a-12 & b-24 \end{array}\right).]

Passo 4

Segunda rodada: usar a segunda linha como pivô (entrada 2 em coluna 2) para eliminar a entrada 8 em R_3.
Operação:
  • R_3 \leftarrow R_3 - 4R_2 (pois 8 - 4\cdot 2 = 0).
Calculo detalhado de R_3 - 4R_2:
\begin{array}{rcl} 0 - 4\cdot 0 &=& 0,\\[4pt] 8 - 4\cdot 2 &=& 0,\\[4pt] (a-12) - 4\cdot(-8) &=& a-12 +32 = a+20,\\[4pt] (b-24) - 4\cdot(-2) &=& b-24 +8 = b-16. \end{array}
Agora a matriz está em forma escalonada:
\left(\begin{array}{ccc|c} 2 & -6 & 4 & 8\\[4pt] 0 & 2 & -8 & -2\\[4pt] 0 & 0 & a+20 & b-16 \end{array}\right).
Isto responde a parte (a): a matriz ampliada escalonada é a mostrada acima e as operações foram as indicadas.]

Passo 5

Interpretação da linha final e classificação por casos: a entrada a+20 na posição (3,3) determina o pivô na terceira linha.
  • Se a+20 \neq 0 então há pivô na coluna 3, a matriz tem três pivôs (um por coluna de incógnita) e o sistema tem solução única.
  • Se a+20 = 0 (isto é, a=-20) então a terceira linha fica [0\;0\;0\;|\;b-16]. Nesse caso:
    • se b-16 \neq 0 então a linha é [0\;0\;0\;|\;c] com c\neq 0, equivalente a 0=c impossível → sistema incompatível (nenhuma solução);
    • se b-16 = 0 então a terceira linha é [0\;0\;0\;|\;0] e o posto da matriz de coeficientes é 2 < número de incógnitas 3 → infinitas soluções (um parâmetro livre).
Vou detalhar cada caso e dar, quando pertinente, a solução explícita.

Passo 6

Caso 1: a+20 \neq 0 (ou seja, a\neq -20). Única solução — cálculo por substituição regressiva.
Da terceira linha escalonada:
(a+20)z = b-16 \quad\Rightarrow\quad z=\dfrac{b-16}{a+20}.
Da segunda linha:
2y -8z = -2 \quad\Rightarrow\quad 2y = -2 +8z \quad\Rightarrow\quad y = -1 +4z.
Da primeira linha:
2x -6y +4z = 8 \quad\Rightarrow\quad 2x = 8 +6y -4z \quad\Rightarrow\quad x = 4 +3y -2z.
Substituindo y=-1+4z:
x = 4 +3(-1+4z) -2z = 4 -3 +12z -2z = 1 +10z.
Finalmente substituir z=\dfrac{b-16}{a+20}:
\boxed{\,x = 1 + 10\cdot\dfrac{b-16}{a+20},\qquad y = -1 +4\cdot\dfrac{b-16}{a+20},\qquad z = \dfrac{b-16}{a+20}\,}
é a solução única quando a\neq -20.

Passo 7

Caso 2: a+20 = 0, ou seja a=-20.
A matriz escalonada passa a ser:
\left(\begin{array}{ccc|c} 2 & -6 & 4 & 8\\[4pt] 0 & 2 & -8 & -2\\[4pt] 0 & 0 & 0 & b-16 \end{array}\right).
  • Se b-16 \neq 0: a última linha é 0= b-16 contraditória → nenhuma solução.
  • Se b-16 = 0 (ou seja, b=16): a última linha é 0=0. O sistema tem posto 2 e 3 incógnitas → uma família infinita de soluções com um parâmetro livre. Vamos escrever a solução geral.
Tomando z como parâmetro livre t\in\mathbb{R} (escolha comum), das equações escalonadas obtemos:
2y -8z = -2 \quad\Rightarrow\quad y = -1 +4z = -1 +4t,
2x -6y +4z = 8 \quad\Rightarrow\quad x = 1 +10z = 1 +10t.
Portanto a solução geral (caso a=-20 e b=16) é
\boxed{\,x = 1 + 10t,\qquad y = -1 + 4t,\qquad z = t,\qquad t\in\mathbb{R}\, }.]

Passo 8

Resumo (classificação pedida no enunciado):
  • Sistema com solução única ⇔ a\neq -20 (qualquer b real).
  • Sistema sem solução ⇔ a=-20 e b\neq 16.
  • Sistema com infinitas soluções ⇔ a=-20 e b=16, solução geral dada no passo anterior.
Força aí — já está tudo mastigadinho: matriz escalonada, condições sobre a,b e as soluções explícitas.

Resposta

(a) Forma escalonada obtida pela eliminação:
\left(\begin{array}{ccc|c} 2 & -6 & 4 & 8\\[4pt] 0 & 2 & -8 & -2\\[4pt] 0 & 0 & a+20 & b-16 \end{array}\right).
(b) (i) infinitas soluções: a=-20 e b=16.
(b) (ii) nenhuma solução: a=-20 e b\neq 16.
(b) (iii) única solução: a\neq -20 (qualquer b).
(c) Caso de infinitas soluções ( a=-20,\;b=16), solução geral:
x = 1 + 10t,\qquad y = -1 + 4t,\qquad z = t,\qquad t\in\mathbb{R}.]

Exercícios relacionados