Dois componentes têm pontos de ebulição de 130^{\circ} \mathrm{C} e 150^{\circ} \mathrm{C}. Estime o número de pratos teóricos necessários para separar estas substâncias por destilação fracionada.

Passo 1

O enunciado dá duas substâncias com pontos de ebulição 130^\circ\mathrm{C} e 150^\circ\mathrm{C} e pede que a gente estime o número de pratos teóricos necessários para separá‑las por destilação fracionada.
Informações fornecidas (explicitadas):
\quad Ponto de ebulição da componente mais volátil: 130^\circ\mathrm{C}.
\quad Ponto de ebulição da componente menos volátil: 150^\circ\mathrm{C}.

Passo 2

Escolha do método (sem complicar): para estimar o número de pratos teóricos usamos a equação de Fenske, que dá o número mínimo de pratos necessário no refluxo total para uma dada separação binária. Vou explicar a equação e os parâmetros que precisamos estimar. Não vou usar métodos mais complexos (McCabe–Thiele) porque a questão pede uma estimativa e só temos os pontos de ebulição.

Passo 3

Definição e cálculo da volatilidade relativa \alpha:
  • A volatilidade relativa \alpha (para a componente mais volátil 1 sobre a menos volátil 2) é, em aproximação ideal, a razão das pressões de vapor do componente 1 para a do componente 2 a uma mesma temperatura: \alpha=\dfrac{P_1^*}{P_2^*}.
  • Usamos a aproximação baseada na equação de Clausius–Clapeyron assumindo que as entalpias de vaporização são parecidas; daí obtém‑se a fórmula aproximada
\ln\left(\frac{P_1^*}{P_2^*}\right)=\frac{\Delta H_{\text{vap}}}{R}\!\left(\frac{1}{T_{b,1}}-\frac{1}{T_{b,2}}\right),
onde \Delta H_{\text{vap}} é uma entalpia característica (vou assumir um valor típico), R é a constante dos gases e T_{b,i} são os pontos de ebulição normais em kelvin. Essa fórmula permite estimar \alpha apenas a partir dos pontos de ebulição se \Delta H_{\text{vap}} for aproximado.

Passo 4

Conversões e valores numéricos para \alpha:
  • Converter temperaturas para kelvin:
T_{b,1}=130^\circ\mathrm{C}=130+273,15=403,15\\ \text{K},
T_{b,2}=150^\circ\mathrm{C}=150+273,15=423,15\\ \text{K}.
  • Escolho uma entalpia de vaporização típica para líquidos orgânicos moderados: \Delta H_{\text{vap}}\approx 40\;000\\ \text{J·mol}^{-1}. A constante dos gases vale R=8,314\\ \text{J·mol}^{-1}\text{K}^{-1}.
  • Calcular o expoente:
\frac{\Delta H_{\text{vap}}}{R}\!\left(\frac{1}{T_{b,1}}-\frac{1}{T_{b,2}}\right) =\frac{40\,000}{8,314}\!\left(\frac{1}{403,15}-\frac{1}{423,15}\right).
Agora avalio passo a passo os termos numéricos:
\displaystyle \frac{1}{403,15}\approx 0,002480, \displaystyle \frac{1}{423,15}\approx 0,002363.
Diferença: \displaystyle 0,002480-0,002363=0,000117.
Fator \displaystyle \frac{40\,000}{8,314}\approx 4\,811,9.
Multiplicando: \displaystyle 4\,811,9\times 0,000117\approx 0,5626.
  • Portanto
\ln\alpha\approx 0,5626\quad\Rightarrow\quad \alpha\approx e^{0,5626}\approx 1,76.

Passo 5

Fórmula de Fenske e escolha das puridades alvo:
  • A equação de Fenske (no refluxo total) para uma mistura binária fornece o número mínimo de pratos teóricos N_{\min}:
N_{\min}=\frac{\ln\!\left(\dfrac{x_D/(1-x_D)}{x_B/(1-x_B)}\right)}{\ln\alpha},
onde x_D é a fração molar da componente mais volátil no destilado e x_B é a fração molar da mesma componente nos resíduos (bottoms).
  • Como o enunciado não dá puridades desejadas, tomo uma escolha típica para uma boa separação: x_D=0,95 (95% no destilado) e x_B=0,05 (5% na corrente inferior). Essas são escolhas razoáveis para estimativa e são comumente usadas em problemas de prova.

Passo 6

Cálculo numérico de N_{\min}:
  • Calcular as razões:
\frac{x_D}{1-x_D}=\frac{0,95}{0,05}=19, \qquad \frac{x_B}{1-x_B}=\frac{0,05}{0,95}\approx 0,0526316.
  • Razão entre elas:
\frac{19}{0,0526316}\approx 361.
  • Logaritmo natural do numerador:
\ln(361)\approx 5,8889.
  • Já temos \ln\alpha\approx 0,5626 (do Passo 4). Assim
N_{\min}=\frac{5,8889}{0,5626}\approx 10,47.
  • Como número de pratos teóricos deve ser um inteiro e N_{\min} dado por Fenske é o mínimo no refluxo total, arredondamos para cima: precisamos de aproximadamente 11 pratos teóricos.

Passo 7

Interpretação e observações finais (rápido e honesto):
  • Resultado final: cerca de 11 pratos teóricos sob as hipóteses usadas.
  • Observações sobre as hipóteses: usei \Delta H_{\text{vap}}\approx 40\\ \text{kJ·mol}^{-1}, comportamento ideal e puridades x_D=0,95, x_B=0,05. Se você exigir puridades mais altas (por ex. x_D=0,99) ou se \Delta H_{\text{vap}} for bem diferente, o número de pratos necessário muda (aumenta).
  • Na prova, se o enunciado não der puridades, explique que você está estimando para puridades razoáveis (como fiz) e mostre o cálculo — isso costuma ser aceito.

Resposta

Aproximadamente 11 pratos teóricos.

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