Considere a v.a. X\) cuja função de probabilidade é
\[p_{X}(x)= \begin{cases}\frac{1}{8}, & \text { se } x=-3 \\\ \frac{1}{6}, & \text { se } x=1 \\\ \frac{1}{2}, & \text { se } x=3 \\\ p, & \text { se } x=5 \\\\ 0, & \text { c. } \text { c. }\end{cases}
Encontre o valor de p\] e a fda da v.a. \(Y=X^{2} e, construa seu gráfico.
Passo 1
O enunciado dá a distribuição discreta de X\):
\[p_{X}(x)= \begin{cases}\dfrac{1}{8}, & \text{se } x=-3,\\[4pt] \dfrac{1}{6}, & \text{se } x=1,\\[4pt] \dfrac{1}{2}, & \text{se } x=3,\\[4pt] p, & \text{se } x=5,\\[4pt] 0, & \text{caso contrário.}\end{cases}
O que é pedido:
Encontrar o valor de p\] (ou seja, forçar as probabilidades a somarem \(1).
Determinar a função de distribuição acumulada (f.d.a., F_{Y}(y)=P(Y\le y)) da variável aleatória Y=X^{2}.
Construir o gráfico da f.d.a. (ou seja, descrever como a f.d.a. se comporta e onde ocorrem os saltos).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
As possíveis realizações de X são -3,1,3,5 com probabilidades indicadas (incluindo a incógnita p em x=5).
A transformação é Y=X^{2}, portanto os possíveis valores de Y serão os quadrados desses valores de X.]
Passo 2
Primeiro, calcular p usando a condição de normalização das probabilidades: a soma de todas as probabilidades deve ser 1. Escrevendo isso em fórmula:
\dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{2}+p=1.
Vou somar as frações à esquerda (uso um denominador comum para não errar). O mínimo múltiplo comum de 8,6,2 é 24. Converto cada fração para denominador 24:
Agora trato da transformação Y=X^{2}. Primeiro enumerar os valores que Y pode assumir a partir dos valores de X:
Se X=-3 então Y=(-3)^{2}=9.
Se X=1 então Y=1^{2}=1.
Se X=3 então Y=3^{2}=9.
Se X=5 então Y=5^{2}=25.
Portanto o espaço de valores de Y (suporte) é \{1,9,25\}. Note que X=-3 e X=3 dão o mesmo valor Y=9, então as probabilidades devem ser somadas para obter P(Y=9).
Passo 4
Calcular a função massa de probabilidade de Y (pmf), que para variável discreta é p_{Y}(y)=P(Y=y). Usando as probabilidades de X (e lembrando que p=\dfrac{5}{24} já encontrado):
Agora construo a função de distribuição acumulada F_{Y}(y)=P(Y\le y). Lembrete prático: para variável discreta a f.d.a. é uma função em degraus (constant entre os pontos de massa e com saltos nos pontos onde há probabilidade positiva). Vou escrever F_{Y} em partes, observando os intervalos entre os valores de Y:
Para y<1: não há valores de Y menores ou iguais a y, então
F_{Y}(y)=0,\quad y<1.
Para 1\le y<9: o único valor de Y que é \le y é 1. Então
Observação sobre continuidade: o valor em y=1 (pela definição usual da f.d.a. direita-contínua) é F_{Y}(1)=1/6. À esquerda de 1 é 0: há um salto de tamanho 1/6 em y=1.
Para 9\le y<25: os valores de Y\le y são 1 e 9. Logo
Como desenhar o gráfico da f.d.a. F_{Y}(y) (instruções passo a passo para a prova; sem calculadora e rápido):
No eixo horizontal (eixo y do argumento da f.d.a.) marque os pontos 1,9,25.
Para y<1 desenhe a linha horizontal em F=0.
Em y=1 faça um salto vertical até F=1/6. Coloque um ponto cheio em (1,1/6) (valor da f.d.a. em 1) e um ponto aberto infinitesimalmente à esquerda em (1,0) para indicar a descontinuidade à esquerda.
Entre 1 e 9 a função é constante em 1/6.
Em y=9 faça um salto vertical de 1/6 para 19/24; desenhe um ponto cheio em (9,19/24) e um ponto aberto em (9,1/6).
Entre 9 e 25 a função é constante em 19/24.
Em y=25 faça o salto final até 1 (ponto cheio em (25,1), ponto aberto em (25,19/24)).
Para y>25 desenhe a linha horizontal em F=1.
Esses saltos têm alturas: em y=1 salto de 1/6, em y=9 salto de 5/8, em y=25 salto de 5/24. O gráfico é a típica f.d.a. discreta em degraus.