Considere a v.a. X\) cuja função de probabilidade é \[p_{X}(x)= \begin{cases}\frac{1}{8}, & \text { se } x=-3 \\\ \frac{1}{6}, & \text { se } x=1 \\\ \frac{1}{2}, & \text { se } x=3 \\\ p, & \text { se } x=5 \\\\ 0, & \text { c. } \text { c. }\end{cases}
Encontre o valor de p\] e a fda da v.a. \(Y=X^{2} e, construa seu gráfico.

Passo 1

O enunciado dá a distribuição discreta de X\): \[p_{X}(x)= \begin{cases}\dfrac{1}{8}, & \text{se } x=-3,\\[4pt] \dfrac{1}{6}, & \text{se } x=1,\\[4pt] \dfrac{1}{2}, & \text{se } x=3,\\[4pt] p, & \text{se } x=5,\\[4pt] 0, & \text{caso contrário.}\end{cases}
O que é pedido:
  • Encontrar o valor de p\] (ou seja, forçar as probabilidades a somarem \(1).
  • Determinar a função de distribuição acumulada (f.d.a., F_{Y}(y)=P(Y\le y)) da variável aleatória Y=X^{2}.
  • Construir o gráfico da f.d.a. (ou seja, descrever como a f.d.a. se comporta e onde ocorrem os saltos).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • As possíveis realizações de X são -3,1,3,5 com probabilidades indicadas (incluindo a incógnita p em x=5).
  • A transformação é Y=X^{2}, portanto os possíveis valores de Y serão os quadrados desses valores de X.]

Passo 2

Primeiro, calcular p usando a condição de normalização das probabilidades: a soma de todas as probabilidades deve ser 1. Escrevendo isso em fórmula:
\dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{2}+p=1.
Vou somar as frações à esquerda (uso um denominador comum para não errar). O mínimo múltiplo comum de 8,6,2 é 24. Converto cada fração para denominador 24:
\dfrac{1}{8}=\dfrac{3}{24},\qquad \dfrac{1}{6}=\dfrac{4}{24},\qquad \dfrac{1}{2}=\dfrac{12}{24}.
Somando:
\dfrac{3}{24}+\dfrac{4}{24}+\dfrac{12}{24}=\dfrac{19}{24}.
Logo
\dfrac{19}{24}+p=1 \quad\Rightarrow\quad p=1-\dfrac{19}{24}=\dfrac{5}{24}.
Portanto p=\dfrac{5}{24}. (Breve checagem: 3/24+4/24+12/24+5/24=24/24=1.)

Passo 3

Agora trato da transformação Y=X^{2}. Primeiro enumerar os valores que Y pode assumir a partir dos valores de X:
  • Se X=-3 então Y=(-3)^{2}=9.
  • Se X=1 então Y=1^{2}=1.
  • Se X=3 então Y=3^{2}=9.
  • Se X=5 então Y=5^{2}=25.
Portanto o espaço de valores de Y (suporte) é \{1,9,25\}. Note que X=-3 e X=3 dão o mesmo valor Y=9, então as probabilidades devem ser somadas para obter P(Y=9).

Passo 4

Calcular a função massa de probabilidade de Y (pmf), que para variável discreta é p_{Y}(y)=P(Y=y). Usando as probabilidades de X (e lembrando que p=\dfrac{5}{24} já encontrado):
  • Para y=1:
P(Y=1)=P(X=1)=\dfrac{1}{6}.
  • Para y=9:
P(Y=9)=P(X=-3)+P(X=3)=\dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{2}.
Faço a soma com denominador 8:
\dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{8}+\dfrac{4}{8}=\dfrac{5}{8}.
  • Para y=25:
P(Y=25)=P(X=5)=p=\dfrac{5}{24}.
Verificação rápida da soma das probabilidades de Y:
\dfrac{1}{6}+\dfrac{5}{8}+\dfrac{5}{24}.
Usando denominador comum 24:
\dfrac{4}{24}+\dfrac{15}{24}+\dfrac{5}{24}=\dfrac{24}{24}=1.
Tudo confere.

Passo 5

Agora construo a função de distribuição acumulada F_{Y}(y)=P(Y\le y). Lembrete prático: para variável discreta a f.d.a. é uma função em degraus (constant entre os pontos de massa e com saltos nos pontos onde há probabilidade positiva). Vou escrever F_{Y} em partes, observando os intervalos entre os valores de Y:
  • Para y<1: não há valores de Y menores ou iguais a y, então
F_{Y}(y)=0,\quad y<1.
  • Para 1\le y<9: o único valor de Y que é \le y é 1. Então
F_{Y}(y)=P(Y\le y)=P(Y=1)=\dfrac{1}{6},\quad 1\le y<9.
Observação sobre continuidade: o valor em y=1 (pela definição usual da f.d.a. direita-contínua) é F_{Y}(1)=1/6. À esquerda de 1 é 0: há um salto de tamanho 1/6 em y=1.
  • Para 9\le y<25: os valores de Y \le y são 1 e 9. Logo
F_{Y}(y)=P(Y\le y)=P(Y=1)+P(Y=9)=\dfrac{1}{6}+\dfrac{5}{8}.
Calculo a soma com denominador 24:
\dfrac{1}{6}+\dfrac{5}{8}=\dfrac{4}{24}+\dfrac{15}{24}=\dfrac{19}{24},\quad 9\le y<25.
Há um salto adicional em y=9 de tamanho 5/8.
  • Para y\ge 25: todos os valores possíveis de Y são \le y, então
F_{Y}(y)=1,\quad y\ge 25.
Em y=25 há o último salto de tamanho 5/24.
Resumindo em uma expressão única (peça a peça):
F_{Y}(y)= \begin{cases} 0, & y<1,\\[4pt] \dfrac{1}{6}, & 1\le y<9,\\[6pt] \dfrac{19}{24}, & 9\le y<25,\\[6pt] 1, & y\ge 25. \end{cases}]

Passo 6

Como desenhar o gráfico da f.d.a. F_{Y}(y) (instruções passo a passo para a prova; sem calculadora e rápido):
  • No eixo horizontal (eixo y do argumento da f.d.a.) marque os pontos 1,9,25.
  • Para y<1 desenhe a linha horizontal em F=0.
  • Em y=1 faça um salto vertical até F=1/6. Coloque um ponto cheio em (1,1/6) (valor da f.d.a. em 1) e um ponto aberto infinitesimalmente à esquerda em (1,0) para indicar a descontinuidade à esquerda.
  • Entre 1 e 9 a função é constante em 1/6.
  • Em y=9 faça um salto vertical de 1/6 para 19/24; desenhe um ponto cheio em (9,19/24) e um ponto aberto em (9,1/6).
  • Entre 9 e 25 a função é constante em 19/24.
  • Em y=25 faça o salto final até 1 (ponto cheio em (25,1), ponto aberto em (25,19/24)).
  • Para y>25 desenhe a linha horizontal em F=1.
Esses saltos têm alturas: em y=1 salto de 1/6, em y=9 salto de 5/8, em y=25 salto de 5/24. O gráfico é a típica f.d.a. discreta em degraus.

Resposta

p=\dfrac{5}{24}
F_{Y}(y)= \begin{cases} 0, & y<1,\\[4pt] \dfrac{1}{6}, & 1\le y<9,\\[6pt] \dfrac{19}{24}, & 9\le y<25,\\[6pt] 1, & y\ge 25. \end{cases}]

Exercícios relacionados