Dois corpos A e B, de massas mA e mB, respectivamente, colidem em um colisão totalmente inelástica. Se vA=(5 imath+3 jmath) m / s e vB=(-imath+4 jmath) m / s e mA=3 mB / 2, determine (a) a velocidade do sistema após a colisão.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem dois corpos, o A e o B, com massas $ m_A $ e $ m_B $ respectivamente. Eles colidem de um jeito totalmente inelástico, ou seja, eles grudam juntos após a colisão. As velocidades antes da colisão são $ \vec{v}_A = (5 \hat{\imath} + 3 \hat{\jmath}) , m/s $ e $ \vec{v}_B = (-1 \hat{\imath} + 4 \hat{\jmath}) , m/s $. Além disso, a massa do A é $ \frac{3}{2} $ vezes a massa do B ($ m_A = \frac{3}{2} m_B $). Vamos usar o conceito de conservação do momento linear para achar a velocidade do sistema depois da colisão.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é momento linear. O momento linear ($ \vec{p} p é \vec{p} = m \vec{v} $). Na colisão, o momento total antes deve ser igual ao momento total depois, já que não tem forças externas agindo.

Passo 3

Vamos calcular o momento de cada corpo antes da colisão. Para o corpo A:
pA = mA vA = mA (5 imath + 3 jmath) , kg·m/s
E para o corpo B:
pB = mB vB = mB (-1 imath + 4 jmath) , kg·m/s

Passo 4

Agora, vamos somar os momentos dos dois corpos para achar o momento total antes da colisão:
ptotal antes = pA + pB = mA (5 imath + 3 jmath) + mB (-1 imath + 4 jmath)

Passo 5

Sabemos que $ m_A = \frac{3}{2} m_B $. Vamos substituir isso na expressão:
mA = 32 mB
ptotal antes = ( 32 mB ) (5 imath + 3 jmath) + mB (-1 imath + 4 jmath)

Passo 6

Vamos simplificar isso juntando os termos de $ \hat{\imath} $ e $ \hat{\jmath} $:
imath
jmath

Passo 7

Depois da colisão totalmente inelástica, os dois corpos grudam e passam a ter uma velocidade comum $ \vec{v}’ $. O momento total depois da colisão é:
v'
Como $ m_A = \frac{3}{2} m_B $, então:
ptotal depois = (mA + mB) v'
Então:
mA = 32 mB

Passo 8

Pela conservação do momento, igualamos os momentos antes e depois:
132 mB imath + 172 mB jmath = 52 mB v'
Podemos dividir ambos os lados por $ \frac{5}{2} m_B $:
52 mB
v' = 132 imath + 172 jmath52 = 13 imath + 17 jmath5

Resposta

A velocidade do sistema após a colisão é $ \vec{v}’ = \left( \frac{13}{5} \hat{\imath} + \frac{17}{5} \hat{\jmath} \right) , m/s $.

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