Dois corpos, A e B , de massas respectivamente iguais a 2,00 \mathrm{~kg} e 1,00 \mathrm{~kg}, sofrem uma colisão. As velocidades imediatamente antes da colisão, em m/s, são: \vec{v}_{A}=(7,50 \hat{\imath}+15,0 \hat{\jmath}) e \vec{v}_{B}=(-5,00 \hat{\imath}+2,50 \hat{\jmath}). Após a colisão, \vec{v}_{A}{ }^{\prime}=(-2,50 \hat{i}+10,0 \hat{j}) \mathrm{m} / \mathrm{s}. Determine o vetor \vec{v}_{B}{ }^{\prime}, ou seja, a velocidade de B imediatamente após a colisão, expresso em função dos vetores unitários cartesianos i e j.

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados (tudo em unidades SI):
m_A = 2{,}00\\ \mathrm{kg},\qquad m_B = 1{,}00\\ \mathrm{kg}
\vec{v}_A = (7{,}50\,\hat{\imath} + 15{,}0\,\hat{\jmath})\\ \mathrm{m/s}
\vec{v}_B = (-5{,}00\,\hat{\imath} + 2{,}50\,\hat{\jmath})\\ \mathrm{m/s}
\vec{v}_A' = (-2{,}50\,\hat{\imath} + 10{,}0\,\hat{\jmath})\\ \mathrm{m/s}
O que se pede: determinar \vec{v}_B', a velocidade de B imediatamente após a colisão, em função de \hat{\imath} e \hat{\jmath}.

Passo 2

Conceito-chave que usaremos: momento linear (ou quantidade de movimento). Para um corpo de massa m com velocidade \vec{v} definimos o momento como
\vec{p} = m\,\vec{v},
cuja unidade é \mathrm{kg\cdot m/s}. Em uma colisão entre dois corpos isolados (sem forças externas significativas atuando durante o choque), o momento total do sistema é conservado. Ou seja,
m_A\vec{v}_A + m_B\vec{v}_B = m_A\vec{v}_A' + m_B\vec{v}_B'.
Essa equação vetorial vale componente a componente (para \hat{\imath} e \hat{\jmath}).

Passo 3

Isolamos \vec{v}_B' na equação da conservação do momento. Subtraindo m_A\vec{v}_A' dos dois lados e dividindo por m_B obtemos:
m_B\vec{v}_B' = m_A\vec{v}_A + m_B\vec{v}_B - m_A\vec{v}_A'
\Rightarrow \vec{v}_B' = \frac{m_A\vec{v}_A + m_B\vec{v}_B - m_A\vec{v}_A'}{m_B}.
Como m_B\neq 0, essa divisão é válida. Agora vamos calcular cada termo componente a componente.

Passo 4

Calculemos primeiro \vec{v}_A - \vec{v}_A' (usando os componentes dados):
\vec{v}_A - \vec{v}_A' = (7{,}50 - (-2{,}50))\,\hat{\imath} + (15{,}0 - 10{,}0)\,\hat{\jmath}
\vec{v}_A - \vec{v}_A' = (10{,}00)\,\hat{\imath} + (5{,}00)\,\hat{\jmath}.
Multiplicando por m_A = 2{,}00\\ \mathrm{kg}:
m_A(\vec{v}_A - \vec{v}_A') = 2{,}00\cdot(10{,}00\,\hat{\imath} + 5{,}00\,\hat{\jmath})
m_A(\vec{v}_A - \vec{v}_A') = (20{,}0\,\hat{\imath} + 10{,}0\,\hat{\jmath})\\ \mathrm{kg\cdot m/s}.

Passo 5

Calculemos m_B\vec{v}_B (com m_B=1{,}00\\ \mathrm{kg}):
m_B\vec{v}_B = 1{,}00\cdot(-5{,}00\,\hat{\imath} + 2{,}50\,\hat{\jmath})
m_B\vec{v}_B = (-5{,}00\,\hat{\imath} + 2{,}50\,\hat{\jmath})\\ \mathrm{kg\cdot m/s}.

Passo 6

Somamos os termos do numerador da fórmula de \vec{v}_B':
m_A\vec{v}_A + m_B\vec{v}_B - m_A\vec{v}_A' = m_A(\vec{v}_A - \vec{v}_A') + m_B\vec{v}_B
= (20{,}0\,\hat{\imath} + 10{,}0\,\hat{\jmath}) + (-5{,}00\,\hat{\imath} + 2{,}50\,\hat{\jmath})
= (15{,}0\,\hat{\imath} + 12{,}5\,\hat{\jmath})\\ \mathrm{kg\cdot m/s}.
Agora dividimos pelo m_B = 1{,}00\\ \mathrm{kg}:
\vec{v}_B' = \frac{1}{1{,}00}\,(15{,}0\,\hat{\imath} + 12{,}5\,\hat{\jmath}) = (15{,}0\,\hat{\imath} + 12{,}5\,\hat{\jmath})\\ \mathrm{m/s}.

Passo 7

Verificação rápida (opcional, mas boa prática): calculamos o momento total antes e depois para checar consistência.
Momento inicial:
m_A\vec{v}_A + m_B\vec{v}_B = (15{,}0\,\hat{\imath}+30{,}0\,\hat{\jmath}) + (-5{,}00\,\hat{\imath}+2{,}50\,\hat{\jmath}) = (10{,}0\,\hat{\imath}+32{,}5\,\hat{\jmath}).
Momento final (com nosso \vec{v}_B'):
m_A\vec{v}_A' + m_B\vec{v}_B' = (-5{,}00\,\hat{\imath}+20{,}0\,\hat{\jmath}) + (15{,}0\,\hat{\imath}+12{,}5\,\hat{\jmath}) = (10{,}0\,\hat{\imath}+32{,}5\,\hat{\jmath}).
Os momentos coincidem, portanto a solução está consistente com a conservação do momento. Bom trabalho — você chegou lá mesmo com pressão de prova!

Resposta

\displaystyle \vec{v}_B' = (15{,}0\,\hat{\imath} + 12{,}5\,\hat{\jmath})\\ \mathrm{m/s}

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