(a) Escreva a equação da
lei da Dinâmica de translação para o objeto de massa
pendurado no fio; idem para a equação da
lei da Dinâmica de rotação da estrutura girante, de momento de inércia
; a partir destas 2 equações e com o auxílio da relação entre a aceleração angular
da estrutura girante
a aceleração linear
do objeto pendurado, deduza a fórmula que fornece
em função de
e o raio
da polia acessória que faz parte da estrutura girante e onde o fio se enrola (b) Sabendo que o sensor de velocidade tem precisão de
e que o gráfico velocidade (em
) versus tempo (em s) exibido pelo software de coleta de dados forneceu o valor
para o coeficiente angular da reta, pede-se: escrever, no formato (…t…) unidade, o valor experimental mais correto para a aceleração de queda do objeto pendurado. (2pts)
Passo 1
O enunciado pede duas coisas, e nos dá alguns dados:
- (a) Escrever a equação da segunda lei da dinâmica (translação) para o objeto de massa
pendurado no fio; escrever a equação da segunda lei da dinâmica (rotação) para a estrutura girante de momento de inércia ; e a partir dessas duas equações, usando a relação entre a aceleração angular da estrutura girante e a aceleração linear do objeto pendurado, deduzir uma fórmula que expresse em função de e do raio da polia acessória onde o fio se enrola. - (b) Foi informado que o sensor de velocidade tem precisão de
e que o ajuste do gráfico velocidade (m/s) versus tempo (s) deu coeficiente angular . Pede-se escrever, no formato unidade, o valor experimental mais correto para a aceleração de queda do objeto pendurado.
Informações relevantes que vamos usar:
- massa do objeto:
(dada simbolicamente); - aceleração da gravidade:
; - aceleração linear do objeto pendurado:
(esta é a quantidade que aparece no ajuste do gráfico velocidade vs tempo); - raio da polia:
; - momento de inércia da estrutura girante:
; - relação sem deslizamento entre aceleração linear e angular:
.
Passo 2
Força e equação de translação do bloco pendurado: desenho mental e escolhas de sinal.
- Identifique as forças que atuam no bloco de massa
: o peso para baixo , e a tensão do fio para cima . - Escolha convenção de sinais: vou tomar a direção para baixo como positiva (isso simplifica porque o bloco acelera para baixo). Então a resultante das forças na direção vertical é
. - Segunda lei da dinâmica (translação) diz que a soma das forças resultantes numa direção é igual à massa vezes a aceleração nessa direção. Em símbolos:
Agora você tem a equação de translação que relaciona
e
. Vou explicar o que cada símbolo significa:
é a massa do bloco (kg),
é a intensidade da aceleração da gravidade (m/s
),
é a tensão no fio (N) e
é a aceleração linear do bloco (m/s
).
Passo 3
Equação de rotação da estrutura girante (polia + demais partes com momento de inércia
).
- A tensão
no fio aplica um torque sobre a polia. Se a tensão puxa tangencialmente na borda da polia de raio , o módulo do torque é . (Aqui assumimos que o fio está enrolado sem deslizamento e que a força nasce tangente à polia.) - A segunda lei da dinâmica para rotação afirma que o torque resultante sobre um corpo rígido é igual ao momento de inércia vezes a aceleração angular:
. - Portanto, escrevemos:
Explanação dos símbolos:
(N) é a mesma tensão do passo anterior;
(m) é o raio da polia onde o fio se enrola;
(kg·m
) é o momento de inércia da estrutura girante;
(rad/s
) é a aceleração angular da estrutura.
Passo 4
Relação entre aceleração linear
e aceleração angular
.
- Se não há deslizamento entre o fio e a polia, um deslocamento angular
da polia corresponde a um deslocamento linear do fio igual a . Diferenciando duas vezes no tempo, obtemos a relação entre acelerações:
- Significado: a aceleração linear do bloco
(m/s ) é igual ao produto da aceleração angular da polia (rad/s ) pelo raio (m). Essa relação é fundamental e vem da geometria do movimento circular versus movimento linear sem deslizamento.
Passo 5
Substituir e eliminar incógnitas para encontrar
.
- Da equação de rotação do Passo 3 temos
. Usando a relação do Passo 4, , substituímos:
- Isolando
obtemos:
- Pela equação de translação do Passo 2 temos
. Substitua a expressão de acima:
- Agora isole
. Primeiro passe o termo com para um lado:
- Multiplique ambos os lados por
e divida por (assumindo ):
- Fatorando
no numerador dá uma forma alternativa mais compacta:
Pronto: esta é a fórmula que expressa o momento de inércia
da estrutura girante em função de
e
.
Passo 6
Checagem de unidades e interpretação física rápida.
- Unidade de
: o lado direito tem (kg) vezes (m ) vezes uma quantidade adimensional , então resulta em kg·m , que é a unidade correta para momento de inércia. Bom sinal. - Interpretação física: se
fosse igual a (queda livre, fio sem tensão), o termo seria zero e , consistente com a ideia de que sem resistência à rotação (momento de inércia nulo) o bloco aceleraria como se estivesse em queda livre. Valores maiores de reduzem a aceleração do bloco.
Passo 7
Parte (b): entender o que o ajuste do gráfico nos deu e quais incertezas considerar.
- Em um gráfico velocidade
(m/s) versus tempo (s), a inclinação da reta (coeficiente angular) é exatamente a aceleração média/constante . Portanto o valor obtido pelo ajuste é o valor experimental de . O enunciado deu o coeficiente angular e sua incerteza do ajuste:
- Além dessa incerteza estatística do ajuste (
), o sensor de velocidade tem precisão de . Essa precisão é uma incerteza relativa sistemática que também deve ser considerada. Vamos combinar as duas incertezas (estatística e sistemática) assumindo que são independentes, somando-as em quadratura.
Passo 8
Cálculo da incerteza combinada e arredondamento apropriado.
- Primeiro calcule a incerteza devido à precisão de
:
- Combine a incerteza do ajuste
com a incerteza do sensor por soma em quadratura:
- Faça as contas (mostrando os passos):
- Regras usuais de apresentação: a incerteza geralmente é dada com uma ou, no máximo, duas cifras significativas. Aqui
→ podemos arredondar a . Então reportamos o valor medido com a mesma precisão decimal que a incerteza indicada: o valor deve ser escrito com três casas decimais para combinar com a incerteza , ficando (unidade ).
Passo 9
Observação final curta e encorajamento.
- Conclusão prática: a incerteza do sensor (1%) domina sobre a incerteza estatística do ajuste, então a incerteza total ficou próxima de
. Tá indo bem — esse procedimento de combinar incertezas é comum em laboratório; respira, faz com calma e confia no passo a passo que fizemos.