(a) Escreva a equação da 2^{\underline{a}} lei da Dinâmica de translação para o objeto de massa m pendurado no fio; idem para a equação da 2^{\underline{a}} lei da Dinâmica de rotação da estrutura girante, de momento de inércia I; a partir destas 2 equações e com o auxílio da relação entre a aceleração angular (\alpha) da estrutura girante \mathbf{e} a aceleração linear (a) do objeto pendurado, deduza a fórmula que fornece I em função de m, g, a e o raio r da polia acessória que faz parte da estrutura girante e onde o fio se enrola (b) Sabendo que o sensor de velocidade tem precisão de 1,0 \% e que o gráfico velocidade (em \mathrm{m} / \mathrm{s} ) versus tempo (em s) exibido pelo software de coleta de dados forneceu o valor 0,878 \pm 0,0039 para o coeficiente angular da reta, pede-se: escrever, no formato (…t…) unidade, o valor experimental mais correto para a aceleração de queda do objeto pendurado. (2pts)

Passo 1

O enunciado pede duas coisas, e nos dá alguns dados:
  • (a) Escrever a equação da segunda lei da dinâmica (translação) para o objeto de massa m pendurado no fio; escrever a equação da segunda lei da dinâmica (rotação) para a estrutura girante de momento de inércia I; e a partir dessas duas equações, usando a relação entre a aceleração angular \alpha da estrutura girante e a aceleração linear a do objeto pendurado, deduzir uma fórmula que expresse I em função de m,\;g,\;a e do raio r da polia acessória onde o fio se enrola.
  • (b) Foi informado que o sensor de velocidade tem precisão de 1{,}0\% e que o ajuste do gráfico velocidade (m/s) versus tempo (s) deu coeficiente angular (0{,}878\pm0{,}0039). Pede-se escrever, no formato (\dots\pm\dots) unidade, o valor experimental mais correto para a aceleração de queda do objeto pendurado.
Informações relevantes que vamos usar:
  • massa do objeto: m (dada simbolicamente);
  • aceleração da gravidade: g;
  • aceleração linear do objeto pendurado: a (esta é a quantidade que aparece no ajuste do gráfico velocidade vs tempo);
  • raio da polia: r;
  • momento de inércia da estrutura girante: I;
  • relação sem deslizamento entre aceleração linear e angular: a=\alpha\,r.

Passo 2

Força e equação de translação do bloco pendurado: desenho mental e escolhas de sinal.
  • Identifique as forças que atuam no bloco de massa m: o peso para baixo \,m g, e a tensão do fio para cima T.
  • Escolha convenção de sinais: vou tomar a direção para baixo como positiva (isso simplifica porque o bloco acelera para baixo). Então a resultante das forças na direção vertical é \,m g - T.
  • Segunda lei da dinâmica (translação) diz que a soma das forças resultantes numa direção é igual à massa vezes a aceleração nessa direção. Em símbolos:
m g - T = m a.
Agora você tem a equação de translação que relaciona T e a. Vou explicar o que cada símbolo significa: m é a massa do bloco (kg), g é a intensidade da aceleração da gravidade (m/s ^2), T é a tensão no fio (N) e a é a aceleração linear do bloco (m/s ^2).

Passo 3

Equação de rotação da estrutura girante (polia + demais partes com momento de inércia I).
  • A tensão T no fio aplica um torque sobre a polia. Se a tensão puxa tangencialmente na borda da polia de raio r, o módulo do torque é \tau = T\,r. (Aqui assumimos que o fio está enrolado sem deslizamento e que a força nasce tangente à polia.)
  • A segunda lei da dinâmica para rotação afirma que o torque resultante sobre um corpo rígido é igual ao momento de inércia vezes a aceleração angular: \tau = I\,\alpha.
  • Portanto, escrevemos:
T\,r = I\,\alpha.
Explanação dos símbolos: T (N) é a mesma tensão do passo anterior; r (m) é o raio da polia onde o fio se enrola; I (kg·m ^2) é o momento de inércia da estrutura girante; \alpha (rad/s ^2) é a aceleração angular da estrutura.

Passo 4

Relação entre aceleração linear a e aceleração angular \alpha.
  • Se não há deslizamento entre o fio e a polia, um deslocamento angular \Delta\theta da polia corresponde a um deslocamento linear do fio igual a r\,\Delta\theta. Diferenciando duas vezes no tempo, obtemos a relação entre acelerações:
a = \alpha\,r.
  • Significado: a aceleração linear do bloco a (m/s ^2) é igual ao produto da aceleração angular da polia \alpha (rad/s ^2) pelo raio r (m). Essa relação é fundamental e vem da geometria do movimento circular versus movimento linear sem deslizamento.

Passo 5

Substituir e eliminar incógnitas para encontrar I.
  • Da equação de rotação do Passo 3 temos T\,r = I\,\alpha. Usando a relação do Passo 4, \alpha = a/r, substituímos:
T\,r = I\left(\frac{a}{r}\right).
  • Isolando T obtemos:
T = \frac{I\,a}{r^2}.
  • Pela equação de translação do Passo 2 temos m g - T = m a. Substitua a expressão de T acima:
m g - \frac{I\,a}{r^2} = m a.
  • Agora isole I. Primeiro passe o termo com I para um lado:
m g - m a = \frac{I\,a}{r^2}.
  • Multiplique ambos os lados por r^2 e divida por a (assumindo a\neq 0):
I = \frac{(m g - m a)\,r^2}{a}.
  • Fatorando m no numerador dá uma forma alternativa mais compacta:
I = m\,r^2\!\left(\frac{g}{a}-1\right)=\frac{m(g-a)r^2}{a}.
Pronto: esta é a fórmula que expressa o momento de inércia I da estrutura girante em função de m,\;g,\;a e r.

Passo 6

Checagem de unidades e interpretação física rápida.
  • Unidade de I: o lado direito tem m (kg) vezes r^2 (m ^2) vezes uma quantidade adimensional (g/a -1), então resulta em kg·m ^2, que é a unidade correta para momento de inércia. Bom sinal.
  • Interpretação física: se a fosse igual a g (queda livre, fio sem tensão), o termo g-a seria zero e I=0, consistente com a ideia de que sem resistência à rotação (momento de inércia nulo) o bloco aceleraria como se estivesse em queda livre. Valores maiores de I reduzem a aceleração a do bloco.

Passo 7

Parte (b): entender o que o ajuste do gráfico nos deu e quais incertezas considerar.
  • Em um gráfico velocidade v (m/s) versus tempo t (s), a inclinação da reta (coeficiente angular) é exatamente a aceleração média/constante a. Portanto o valor obtido pelo ajuste é o valor experimental de a. O enunciado deu o coeficiente angular e sua incerteza do ajuste:
a_{\text{ajuste}} = 0{,}878 \pm 0{,}0039 \quad(\mathrm{m/s^2}).
  • Além dessa incerteza estatística do ajuste ( 0{,}0039), o sensor de velocidade tem precisão de 1{,}0\%. Essa precisão é uma incerteza relativa sistemática que também deve ser considerada. Vamos combinar as duas incertezas (estatística e sistemática) assumindo que são independentes, somando-as em quadratura.

Passo 8

Cálculo da incerteza combinada e arredondamento apropriado.
  • Primeiro calcule a incerteza devido à precisão de 1{,}0\%:
\text{inc}_{\text{sens}} = 0{,}01 \times 0{,}878 = 0{,}00878.
  • Combine a incerteza do ajuste (0{,}0039) com a incerteza do sensor (0{,}00878) por soma em quadratura:
\text{inc}_{\text{total}} = \sqrt{(0{,}0039)^2 + (0{,}00878)^2}.
  • Faça as contas (mostrando os passos):
(0{,}0039)^2 = 0{,}00001521,
(0{,}00878)^2 = 0{,}00007708,
\text{inc}_{\text{total}} = \sqrt{0{,}00001521 + 0{,}00007708} = \sqrt{0{,}00009229} \approx 0{,}00961.
  • Regras usuais de apresentação: a incerteza geralmente é dada com uma ou, no máximo, duas cifras significativas. Aqui \text{inc}_{\text{total}}\approx0{,}00961 → podemos arredondar a 0{,}010. Então reportamos o valor medido com a mesma precisão decimal que a incerteza indicada: o valor 0{,}878 deve ser escrito com três casas decimais para combinar com a incerteza 0{,}010, ficando 0{,}878\pm0{,}010 (unidade \mathrm{m/s^2}).

Passo 9

Observação final curta e encorajamento.
  • Conclusão prática: a incerteza do sensor (1%) domina sobre a incerteza estatística do ajuste, então a incerteza total ficou próxima de 0{,}01. Tá indo bem — esse procedimento de combinar incertezas é comum em laboratório; respira, faz com calma e confia no passo a passo que fizemos.

Resposta

\displaystyle I=\frac{m(g-a)r^{2}}{a}
\displaystyle a_{\text{exp}}=(0{,}878\pm0{,}010)\\ \mathrm{m/s^{2}}

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