Dois corpos
e
se movem num plano
a partir do instante
realizando as seguintes funções horárias:
Determine o instante que os dois corpos se econtram, o ponto de encontro e a velocidade relativa entre eles nesse instante.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado diz que dois corpos A e B se movem no plano xy com posições dadas por
Queremos achar:
- O instante
em que eles se encontram (ou seja, mesma posição). - O ponto de encontro
. - A velocidade relativa entre eles naquele instante.
Conteúdo envolvido: cinemática vetorial no plano (posição, velocidade, encontro de trajetórias) e derivadas (para obter velocidades). Não precisa conhecer nada avançado além de resolver sistemas de duas equações e calcular derivadas básicas.
Passo 2
Primeiro, “encontro” significa
e
simultaneamente. Vamos igualar as componentes x:
Reorganizando tudo de um lado:
Isso é uma equação quadrática. Ela fatoriza assim:
Como o movimento começa em
, descartamos
. Logo, só faz sentido
.
Passo 3
Só pra garantir, cheque também a componente y em
:
Bingo, em
as duas
também coincidem.
Passo 4
Agora o ponto de encontro é a posição em
. Já vimos
. A
vale
Logo, o ponto de encontro é
.
Passo 5
Pra achar a velocidade de cada corpo, derivamos as funções de posição em relação a
:
- Velocidade de A:
- Velocidade de A:
Em
:
- Velocidade de B:
Em
:
Velocidade relativa de B em relação a A é simplesmente
:
Se quiser o módulo (tamanho) dessa velocidade relativa,
Resposta
Instante de encontro:
.
Ponto de encontro: .
Velocidade relativa (vetor) naquele instante: (módulo
).
Ponto de encontro:
Velocidade relativa (vetor) naquele instante: