Dois corpos A e B se movem num plano x y a partir do instante t=0 realizando as seguintes funções horárias:
ll xA(t)=2 t-5 & yA(t)=2 t^2-5 t xB(t)=-t^2+3 t+1 & yB(t)=2 t^39-t
Determine o instante que os dois corpos se econtram, o ponto de encontro e a velocidade relativa entre eles nesse instante.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado diz que dois corpos A e B se movem no plano xy com posições dadas por
xA(t)=2t-5, yA(t)=2t^2-5t, xB(t)=-t^2+3t+1, yB(t)=2t^39-t
Queremos achar:
  1. O instante em que eles se encontram (ou seja, mesma posição).
  2. O ponto de encontro .
  3. A velocidade relativa entre eles naquele instante.
Conteúdo envolvido: cinemática vetorial no plano (posição, velocidade, encontro de trajetórias) e derivadas (para obter velocidades). Não precisa conhecer nada avançado além de resolver sistemas de duas equações e calcular derivadas básicas.

Passo 2

Primeiro, “encontro” significa 2t - 5 ;=;-t^2 + 3t + 1 e t^2 - t - 6 = 0 simultaneamente. Vamos igualar as componentes x:
(t - 3)(t + 2) = 0 ;Longrightarrow; t = 3 ou t = -2
Reorganizando tudo de um lado:
Isso é uma equação quadrática. Ela fatoriza assim:
Como o movimento começa em , descartamos . Logo, só faz sentido .

Passo 3

Só pra garantir, cheque também a componente y em yA(3)=2cdot3^2 -5cdot3 = 18 -15 = 3, yB(3)=2cdot3^39 - 3 = 549 -3 = 6 -3 = 3 :
Bingo, em as duas também coincidem.

Passo 4

Agora o ponto de encontro é a posição em xA(3) = 2cdot3 -5 = 6 -5 = 1 . Já vimos . A vale
Logo, o ponto de encontro é .

Passo 5

Pra achar a velocidade de cada corpo, derivamos as funções de posição em relação a vAx(t) = ddt(2t-5)=2, vAy(t) = ddt(2t^2-5t)=4t-5 :
- Velocidade de A:
vec vA(3) = (2,;4cdot3-5) = (2,,7)
Em vBx(t)=ddt(-t^2+3t+1) = -2t+3, vBy(t)=ddtl(tfrac2t^39-tr) =6t^29-1 = 2t^23-1 :
vec vB(3) = l(-2cdot3+3,;tfrac2cdot3^23-1r) = (-3,;6-1) = (-3,,5)
- Velocidade de B:
vec vrel = (-3,,5) - (2,,7) = (-5,,-2)
Em |vec vrel| = raiz(-5)^2 + (-2)^2 = raiz25+4 = raiz29 :
Velocidade relativa de B em relação a A é simplesmente :
Se quiser o módulo (tamanho) dessa velocidade relativa,

Resposta

Instante de encontro: .
Ponto de encontro: .
Velocidade relativa (vetor) naquele instante: (módulo ).

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