Suponha que o observador S dispara um feixe de luz na direção y(vx=0, vy=c). O observador S^prime está se movendo com velocidade u na direção x. Mostre que S^prime mede uma velocidade c para o feixe de luz.

Passo 1

Beleza, vamos primeiro resumir o que o enunciado pede.
Temos um observador S que dispara um feixe de luz purinho na direção y (ou seja, em S temos
vx = 0, vy = c
Outro observador S′ está se movendo em relação a S com velocidade na direção x.
A matéria aqui é Transformação de Velocidades na Relatividade Restrita.
O que vamos precisar:
  • As fórmulas de transformação de velocidades de Lorentz para as componentes e .
  • A definição do fator .
  • Calcular as componentes no referencial S′ e, por fim, mostrar que o módulo da velocidade é .

Passo 2

Primeiro, qual é a teoria por trás?
Na Relatividade Restrita, as componentes da velocidade transformam-se assim (velocidade de S′ em relação a S = vx' = vx - u1 - u,vxc^2, vy' = vygammal(1 - u,vxc^2r), na direção x):
gamma = 1raiz1 - u^2c^2
onde
Estamos “quebrando” a transformação em componentes x e y.

Passo 3

Agora substituímos os valores do feixe de luz em S:
  • vx' = 0 - u1 - ucdot 0c^2 = -u1 = -u
  • vy' = cgammal(1 - ucdot 0c^2r) = cgamma = c;raiz1 - u^2c^2
Para :
Para :
Aqui a gente usou , então .

Passo 4

Para ver se o observador S′ também mede a velocidade v' = raizl(vx'r)^2 + l(vy'r)^2 = raiz(-u)^2 + l(craiz1 - tfracu^2c^2r)^2 , calculamos o módulo:
v' = raizu^2 + c^2l(1 - tfracu^2c^2r) = raizu^2 + c^2 - u^2 = raizc^2 = c
Desenvolvendo:

Resposta

O observador S′ também mede o feixe de luz com velocidade .

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