Um carro percorre um trecho em linha reta de modo que o deslocamento em relação ao referencial é dado por x(t)=bt^2-ct^3, onde b=2,4 m / s^2 ec=0,12 m / s^3 Quais os valores da velocidade media entre 0 e 10s e a velocidade instantânea para t =10 s.
REsp: 12 m/s e 12 m/s

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre o deslocamento de um carro em uma linha reta, dado por uma função do tempo: x(t) = bt^2 - ct^3. Aqui, b = 2,4 , m/s^2 e c = 0,12 , m/s^3. Precisamos encontrar dois valores importantes:
  1. A velocidade média entre 0 e 10 segundos.
  2. A velocidade instantânea no instante t = 10,s.
Vamos usar conceitos de cinemática e derivadas para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é velocidade média. Ela nos dá uma ideia de quão rápido o carro está se movendo em um intervalo de tempo. A fórmula para calcular a velocidade média ( vm) é:
vm = De
Onde:
  • x(t) é a posição em função do tempo.
  • t1 e t2 são os instantes inicial e final, respectivamente.

Passo 3

Vamos calcular x(t) nos instantes t1 = 0,s e t2 = 10,s.
Para t = 0,s:
x(0) = b cdot 0^2 - c cdot 0^3 = 0 - 0 = 0,m
Para t = 10,s:
x(10) = b cdot (10)^2 - c cdot (10)^3 = 2,4 cdot 100 - 0,12 cdot 1000 = 240 - 120 = 120,m

Passo 4

Agora, aplicamos a fórmula da velocidade média:
vm = x(10) - x(0)10 - 0 = 120,m - 0,m10,s = 12010 = 12,m/s
Então, a velocidade média entre 0 e 10 segundos é de 12 m/s.

Passo 5

Agora, vamos para a velocidade instantânea, que é a velocidade em um momento específico, neste caso, em t = 10,s. Para isso, precisamos calcular a derivada da função de posição x(t) em relação ao tempo, que nos dá a função da velocidade v(t):
v(t) = dxdt = ddt(bt^2 - ct^3) = 2bt - 3ct^2

Passo 6

Substituímos os valores de b e c na equação da velocidade:
v(t) = 2 cdot 2,4 cdot t - 3 cdot 0,12 cdot t^2 = 4,8t - 0,36t^2
Agora, calculamos para t = 10,s:
v(10) = 4,8 cdot 10 - 0,36 cdot (10)^2 = 48 - 0,36 cdot 100 = 48 - 36 = 12,m/s

Resposta

A velocidade média entre 0 e 10 segundos é 12 m/s e a velocidade instantânea em t = 10,s também é 12 m/s.

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