Uma bola é lançada com velocidade inicial de 12,0 \mathrm{~m} / \mathrm{s} verticalmente para cima do terraço de um edifício. (a) Em que instante(s) ela estará a 5,0 \mathrm{~m} da altura de onde ela foi lançada?(b) Calcule a(s) velocidade(s) da bola quando ela se encontra a 5,0 \mathrm{~m} de altura.(c) Sabendo que o tempo que ela leva para atingir o solo é 4,2 \mathrm{~s}, calcule a altura do prédio.

Passo 1

Dados do enunciado e o que é pedido:\n
  • Velocidade inicial: v_0 = 12,0\\ \mathrm{m/s} dirigida para cima.\n
  • Queremos os instantes em que a bola está a 5,0\\ \mathrm{m} acima do ponto de lançamento.\n
  • Queremos as velocidades da bola nesses instantes.\n
  • O tempo total até atingir o solo é 4,2\\ \mathrm{s}; a partir disso devemos calcular a altura do prédio (distância vertical do ponto de lançamento até o solo).\n
  • Assumo a aceleração da gravidade constante e dirigida para baixo: g = 9,80\\ \mathrm{m/s^2}.\n
    Perguntas do problema:\n
    (a) Quais os instantes t em que y(t) = 5,0\\ \mathrm{m} medidos a partir do lançamento?\n
    (b) Quais as velocidades v(t) nesses instantes (com indicação de sinal/direção)?\n
    (c) Qual é a altura do prédio sabendo que o tempo até o solo é 4,2\\ \mathrm{s}?

Passo 2

Escolha de sinal e equação do movimento (fórmula que vamos usar):\n
  • Tomamos o eixo vertical positivo para cima e o ponto de lançamento como y=0.\n
  • Para movimento vertical com aceleração constante (gravidade), a equação da posição é
y(t)=y_0+v_0 t-\tfrac{1}{2} g t^2.
Aqui y(t) é a altura no tempo t, y_0 é a altura inicial (aqui y_0=0), v_0 é a velocidade inicial (positiva para cima), e g é o módulo da aceleração da gravidade.\n
  • A equação da velocidade é
v(t)=v_0 - g t,
onde v(t) tem sinal positivo se a bola está subindo e negativo se está descendo.

Passo 3

Resolver (a): montar a equação para os instantes em que y=5,0\\ \mathrm{m}.\n
Substituindo y(t)=5,0, y_0=0, v_0=12,0 e g=9,80 obtemos
5,0 = 12,0\,t - \tfrac{1}{2}(9,80)\,t^2.
Para resolver, organizamos como uma equação quadrática padrão multiplicando e rearranjando:
\tfrac{1}{2}(9,80)\,t^2 - 12,0\,t + 5,0 = 0.
Calculando o coeficiente numérico \tfrac{1}{2}g = 4,90, a equação fica
4,90\,t^2 - 12,0\,t + 5,0 = 0.

Passo 4

Resolver a quadrática usando a fórmula de Bhaskara. Primeiro o discriminante:
\Delta = b^2 - 4ac = (-12,0)^2 - 4\cdot 4,90 \cdot 5,0 = 144,0 - 98,0 = 46,0.
A raiz quadrada do discriminante é
\sqrt{\Delta} = \sqrt{46,0} \approx 6,782.
As raízes são
t = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{12,0 \pm 6,782}{2\cdot 4,90} = \frac{12,0 \pm 6,782}{9,80}.
Calculando cada uma:
t_1 = \frac{12,0 - 6,782}{9,80} = \frac{5,218}{9,80} \approx 0,532\\ \mathrm{s},
t_2 = \frac{12,0 + 6,782}{9,80} = \frac{18,782}{9,80} \approx 1,92\\ \mathrm{s}.
Interpretação física: o primeiro instante t_1 é quando a bola sobe e passa pela altura 5,0\\ \mathrm{m}; o segundo t_2 é quando ela, depois de subir até um máximo, desce e passa novamente por 5,0\\ \mathrm{m}.

Passo 5

Resolver (b): calcular as velocidades nesses instantes usando v(t)=v_0 - g t.\n
Para t_1 \approx 0,532\\ \mathrm{s}:
v_1 = 12,0 - 9,80\cdot 0,532 \approx 12,0 - 5,218 \approx 6,78\\ \mathrm{m/s}.
O sinal positivo indica que a bola ainda está subindo nesse instante.\n
Para t_2 \approx 1,92\\ \mathrm{s}:
v_2 = 12,0 - 9,80\cdot 1,92 \approx 12,0 - 18,78 \approx -6,78\\ \mathrm{m/s}.
O sinal negativo indica que a bola está descendo nesse instante. (Repare que as velocidades têm mesma magnitude e sinais opostos — é esperado pela simetria do movimento vertical sem resistência do ar.)

Passo 6

Resolver (c): calcular a altura do prédio sabendo que o tempo até o solo é t_{\text{solo}}=4,2\\ \mathrm{s}.\n
Usamos a mesma equação da posição com t=4,2:
y(4,2)=0 + 12,0\cdot 4,2 - \tfrac{1}{2}\cdot 9,80 \cdot (4,2)^2.
Calculemos passo a passo:
12,0\cdot 4,2 = 50,4,
(4,2)^2 = 17,64,\quad \tfrac{1}{2}\cdot 9,80 \cdot 17,64 = 4,90\cdot 17,64 = 86,436.
Logo
y(4,2)=50,4 - 86,436 = -36,036\\ \mathrm{m}.
O valor negativo indica que o solo está a 36,036\\ \mathrm{m} abaixo do ponto de lançamento, ou seja, a altura do prédio (do terraço até o solo) é 36,036\\ \mathrm{m}. Arredondando de acordo com os dados (3 algarismos significativos) obtemos 36,0\\ \mathrm{m}.

Resposta

(a) t \approx 0,532\\ \mathrm{s} e t \approx 1,92\\ \mathrm{s}\n
(b) v \approx +6,78\\ \mathrm{m/s} (subindo, em t\approx 0,532\\ \mathrm{s}) e v \approx -6,78\\ \mathrm{m/s} (descendo, em t\approx 1,92\\ \mathrm{s})\n
(c) Altura do prédio \approx 36,0\\ \mathrm{m}

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