Uma bola é lançada com velocidade inicial de
verticalmente para cima do terraço de um edifício. (a) Em que instante(s) ela estará a
da altura de onde ela foi lançada?(b) Calcule a(s) velocidade(s) da bola quando ela se encontra a
de altura.(c) Sabendo que o tempo que ela leva para atingir o solo é
, calcule a altura do prédio.
Passo 1
Dados do enunciado e o que é pedido:\n
- Velocidade inicial:
dirigida para cima.\n - Queremos os instantes em que a bola está a
acima do ponto de lançamento.\n - Queremos as velocidades da bola nesses instantes.\n
- O tempo total até atingir o solo é
; a partir disso devemos calcular a altura do prédio (distância vertical do ponto de lançamento até o solo).\n - Assumo a aceleração da gravidade constante e dirigida para baixo:
.\n
Perguntas do problema:\n
(a) Quais os instantesem que medidos a partir do lançamento?\n
(b) Quais as velocidadesnesses instantes (com indicação de sinal/direção)?\n
(c) Qual é a altura do prédio sabendo que o tempo até o solo é?
Passo 2
Escolha de sinal e equação do movimento (fórmula que vamos usar):\n
- Tomamos o eixo vertical positivo para cima e o ponto de lançamento como
.\n - Para movimento vertical com aceleração constante (gravidade), a equação da posição é
Aqui
é a altura no tempo
,
é a altura inicial (aqui
),
é a velocidade inicial (positiva para cima), e
é o módulo da aceleração da gravidade.\n
- A equação da velocidade é
onde
tem sinal positivo se a bola está subindo e negativo se está descendo.
Passo 3
Resolver (a): montar a equação para os instantes em que
.\n
Substituindo ,
,
e
obtemos
Substituindo
Para resolver, organizamos como uma equação quadrática padrão multiplicando e rearranjando:
Calculando o coeficiente numérico
, a equação fica
Passo 4
Resolver a quadrática usando a fórmula de Bhaskara. Primeiro o discriminante:
A raiz quadrada do discriminante é
As raízes são
Calculando cada uma:
Interpretação física: o primeiro instante
é quando a bola sobe e passa pela altura
; o segundo
é quando ela, depois de subir até um máximo, desce e passa novamente por
.
Passo 5
Resolver (b): calcular as velocidades nesses instantes usando
.\n
Para :
Para
O sinal positivo indica que a bola ainda está subindo nesse instante.\n
Para :
Para
O sinal negativo indica que a bola está descendo nesse instante. (Repare que as velocidades têm mesma magnitude e sinais opostos — é esperado pela simetria do movimento vertical sem resistência do ar.)
Passo 6
Resolver (c): calcular a altura do prédio sabendo que o tempo até o solo é
.\n
Usamos a mesma equação da posição com :
Usamos a mesma equação da posição com
Calculemos passo a passo:
Logo
O valor negativo indica que o solo está a
abaixo do ponto de lançamento, ou seja, a altura do prédio (do terraço até o solo) é
. Arredondando de acordo com os dados (3 algarismos significativos) obtemos
.
Resposta
(a)
e
\n
(b) (subindo, em
) e
(descendo, em
)\n
(c) Altura do prédio
(b)
(c) Altura do prédio