- (a) Esboce o gráfico de uma função em
que tenha máximo absoluto, mas não tenha máximo local.
Passo 1
O enunciado pede: esboçar (ou seja, dar um exemplo gráfico) de uma função definida em
que tenha máximo absoluto, mas não tenha máximo local.
Informações dadas (explicitamente ou implicitamente):
Informações dadas (explicitamente ou implicitamente):
- O domínio é o intervalo
. - É preciso que exista um ponto onde a função atinge o maior valor do intervalo (máximo absoluto).
- Ao mesmo tempo, não pode existir ponto onde a função tenha máximo local (conforme a definição relevante, que vamos discutir a seguir).
Passo 2
Definições essenciais (vou explicar bem devagarinho):
- Máximo absoluto: dizemos que
tem máximo absoluto em se para todo . Ou seja, é o maior valor que a função assume no domínio. - Máximo local (definição padrão): dizemos que
tem máximo local em se existe tal que para todo em . Note que, com essa definição, um extremo em extremidade do intervalo (por exemplo ) pode ser considerado máximo local usando vizinhança unilaterial — a interseção com o domínio é só um lado.
Passo 3
Observação importante sobre a ambiguidade do enunciado e como vamos interpretá-lo:
- Se adotarmos a definição que permite pontos de borda (endpoints) serem máximos locais (vizinhaças unilaterais), então qualquer máximo absoluto é automaticamente um máximo local, porque da desigualdade global
para todo segue a condição local. Nesse caso é impossível satisfazer “máximo absoluto” e “não ter máximo local”. - Portanto, o enunciado só faz sentido se entendermos “não ter máximo local” como “não ter máximo local em nenhum ponto interior do intervalo”, isto é, nenhum
é máximo local. Vou trabalhar com essa interpretação, que é a usual em muitos exercícios: queremos um máximo absoluto (que ocorrerá na fronteira) e nenhum máximo local em pontos interiores.
Passo 4
Construa uma função simples que satisfaça a exigência: escolha a função linear crescente
Explicando: é uma reta que passa por
e por
. Esse é um exemplo fácil de desenhar no papel.
Passo 5
Mostre que essa
tem máximo absoluto em
:
- Para todo
vale . Logo é maior ou igual a todos os valores da função no domínio, isto é, é máximo absoluto.
Passo 6
Mostre que não existe máximo local em nenhum ponto interior
:
- Seja
. Como a função é estritamente crescente, para qualquer pequeno tal que temos
- Isso mostra que em toda vizinhança de
existem pontos (por exemplo, ) com valor da função maior que . Assim não existe tal que para todo em ; portanto não é máximo local. - Como
foi um ponto interior arbitrário, concluímos que não há máximos locais em .
Passo 7
Interprete graficamente (como esboçar no papel):
- Trace o eixo
de até e o eixo . - Desenhe a reta
restringida ao segmento entre e . - Marque com um ponto o extremo direito
: é onde a função atinge seu maior valor (máximo absoluto). - Não marque nenhum pico no interior: a reta sobe continuamente, então não há “picos” locais — qualquer ponto interior tem valores maiores imediatamente à direita.
Passo 8
Dica rápida para a prova (resumo prático):
- Um jeito padrão de construir exemplos desse tipo é usar uma função monotônica estrita (crescente ou decrescente) definida no intervalo; o máximo absoluto ocorre em uma das extremidades e, por monotonicidade estrita, não há máximos locais no interior.
- Sempre observe a definição de máximo local que o professor adota: se forem considerados pontos de fronteira como locais, então a construção acima não atende (porque o máximo absoluto na extremidade seria também máximo local). Nesse caso o enunciado está mal formulado ou pede que se interprete “local” como interior.
Resposta
Um exemplo é
em
. Tem máximo absoluto
e não possui máximo local em nenhum ponto de
.