1. (a) Esboce o gráfico de uma função em [-1,2] que tenha máximo absoluto, mas não tenha máximo local.

Passo 1

O enunciado pede: esboçar (ou seja, dar um exemplo gráfico) de uma função definida em [-1,2] que tenha máximo absoluto, mas não tenha máximo local.
Informações dadas (explicitamente ou implicitamente):
  • O domínio é o intervalo [-1,2].
  • É preciso que exista um ponto onde a função atinge o maior valor do intervalo (máximo absoluto).
  • Ao mesmo tempo, não pode existir ponto onde a função tenha máximo local (conforme a definição relevante, que vamos discutir a seguir).

Passo 2

Definições essenciais (vou explicar bem devagarinho):
  • Máximo absoluto: dizemos que f tem máximo absoluto em x_0\in[-1,2] se f(x_0)\ge f(x) para todo x\in[-1,2]. Ou seja, f(x_0) é o maior valor que a função assume no domínio.
  • Máximo local (definição padrão): dizemos que f tem máximo local em x_0 se existe \delta>0 tal que f(x)\le f(x_0) para todo x em (x_0-\delta,x_0+\delta)\cap[-1,2]. Note que, com essa definição, um extremo em extremidade do intervalo (por exemplo x_0=2) pode ser considerado máximo local usando vizinhança unilaterial — a interseção com o domínio é só um lado.

Passo 3

Observação importante sobre a ambiguidade do enunciado e como vamos interpretá-lo:
  • Se adotarmos a definição que permite pontos de borda (endpoints) serem máximos locais (vizinhaças unilaterais), então qualquer máximo absoluto é automaticamente um máximo local, porque da desigualdade global f(x)\le f(x_0) para todo x segue a condição local. Nesse caso é impossível satisfazer “máximo absoluto” e “não ter máximo local”.
  • Portanto, o enunciado só faz sentido se entendermos “não ter máximo local” como “não ter máximo local em nenhum ponto interior do intervalo”, isto é, nenhum x_0\in(-1,2) é máximo local. Vou trabalhar com essa interpretação, que é a usual em muitos exercícios: queremos um máximo absoluto (que ocorrerá na fronteira) e nenhum máximo local em pontos interiores.

Passo 4

Construa uma função simples que satisfaça a exigência: escolha a função linear crescente
f(x)=x,\qquad x\in[-1,2].
Explicando: é uma reta que passa por (-1,-1) e por (2,2). Esse é um exemplo fácil de desenhar no papel.

Passo 5

Mostre que essa f tem máximo absoluto em x=2:
  • Para todo x\in[-1,2] vale f(x)=x\le 2=f(2). Logo f(2) é maior ou igual a todos os valores da função no domínio, isto é, f(2) é máximo absoluto.

Passo 6

Mostre que não existe máximo local em nenhum ponto interior c\in(-1,2):
  • Seja c\in(-1,2). Como a função é estritamente crescente, para qualquer \varepsilon>0 pequeno tal que c+\varepsilon\le 2 temos
f(c+\varepsilon)=c+\varepsilon>c=f\text{(c)}.
  • Isso mostra que em toda vizinhança de c existem pontos (por exemplo, c+\varepsilon) com valor da função maior que f\text{(c)}. Assim não existe \delta>0 tal que f(x)\le f\text{(c)} para todo x em (c-\delta,c+\delta); portanto c não é máximo local.
  • Como c foi um ponto interior arbitrário, concluímos que não há máximos locais em (-1,2).

Passo 7

Interprete graficamente (como esboçar no papel):
  • Trace o eixo x de -1 até 2 e o eixo y.
  • Desenhe a reta y=x restringida ao segmento entre (-1,-1) e (2,2).
  • Marque com um ponto o extremo direito (2,2): é onde a função atinge seu maior valor (máximo absoluto).
  • Não marque nenhum pico no interior: a reta sobe continuamente, então não há “picos” locais — qualquer ponto interior tem valores maiores imediatamente à direita.

Passo 8

Dica rápida para a prova (resumo prático):
  • Um jeito padrão de construir exemplos desse tipo é usar uma função monotônica estrita (crescente ou decrescente) definida no intervalo; o máximo absoluto ocorre em uma das extremidades e, por monotonicidade estrita, não há máximos locais no interior.
  • Sempre observe a definição de máximo local que o professor adota: se forem considerados pontos de fronteira como locais, então a construção acima não atende (porque o máximo absoluto na extremidade seria também máximo local). Nesse caso o enunciado está mal formulado ou pede que se interprete “local” como interior.

Resposta

Um exemplo é f(x)=x em [-1,2]. Tem máximo absoluto f(2)=2 e não possui máximo local em nenhum ponto de (-1,2).

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