Dois dados honestos são lançados. Obtenha a distribuição de probabilidade conjunta de , as distribuições marginais e diga se as variáveis são independentes, quando: é o valor obtido no primeiro dado e é o maior valor observado.
Passo 1
Beleza, aqui a ideia é a seguinte: a questão pede a distribuição de probabilidade conjunta de duas variáveis aleatórias e , as marginais e ainda verificar se elas são independentes.
Conteúdo: probabilidade discreta, variáveis aleatórias, distribuição conjunta, marginais e independência.
Vamos precisar:
saber que cada par de resultados de dois dados honestos tem probabilidade ;
contar quantos pares satisfazem certas condições para achar a pmf conjunta;
somar essa pmf para achar as marginais;
comparar produto das marginais com a conjunta para ver independência.
Passo 2
Primeiro, todo par de resultados , onde é o valor do primeiro dado e do segundo, ocorre com probabilidade
Como é o valor do primeiro dado, significa simplesmente que o primeiro resultado vale . E .
Passo 3
Para achar , contamos quantos pares dão :
Se , não dá pra ter máximo menor que , então é 0.
Se , precisa que , ou seja há valores possíveis de .
Se , precisa que (só assim o máximo sobe até ), então só 1 caso.
Como cada caso vale ,
Passo 4
Agora as marginais:
Marginal de P(X=x)=sumy=1^6P(X=x,Y=y) =x36+sumy=x+1^6136 =x+(6-x)36 =636 =16 :