Dois dados honestos são lançados. Obtenha a distribuição de probabilidade conjunta de (X, Y), as distribuições marginais e diga se as variáveis são independentes, quando: X é o valor obtido no primeiro dado e Y é o maior valor observado.

Passo 1

Beleza, aqui a ideia é a seguinte: a questão pede a distribuição de probabilidade conjunta de duas variáveis aleatórias e , as marginais e ainda verificar se elas são independentes.
  • Conteúdo: probabilidade discreta, variáveis aleatórias, distribuição conjunta, marginais e independência.
  • Vamos precisar:
    1. saber que cada par de resultados de dois dados honestos tem probabilidade ;
    2. contar quantos pares satisfazem certas condições para achar a pmf conjunta;
    3. somar essa pmf para achar as marginais;
    4. comparar produto das marginais com a conjunta para ver independência.

Passo 2

Primeiro, todo par de resultados P(i,j)=136, i,jin1,2,3,4,5,6 , onde é o valor do primeiro dado e do segundo, ocorre com probabilidade
Como é o valor do primeiro dado, significa simplesmente que o primeiro resultado vale . E .

Passo 3

Para achar P(X=x,Y=y)= 0, & yx, x,yin1,dots,6 , contamos quantos pares dão :
  • Se , não dá pra ter máximo menor que , então é 0.
  • Se , precisa que , ou seja há valores possíveis de .
  • Se , precisa que (só assim o máximo sobe até ), então só 1 caso.
    Como cada caso vale ,

Passo 4

Agora as marginais:
  1. Marginal de P(X=x)=sumy=1^6P(X=x,Y=y) =x36+sumy=x+1^6136 =x+(6-x)36 =636 =16 :
P(Y=y)=sumx=1^6P(X=x,Y=y) =sumx=1^y-1136+y36 =y-1+y36 =2y-136, yin1,dots,6
  1. Marginal de :

Passo 5

Independência?
Duas variáveis são independentes se
P(X=x,Y=y);=;P(X=x),P(Y=y)
para todo P(X=1,Y=1)=136, P(X=1)P(Y=1)=16cdot136=1216 .
Por exemplo, escolhe , :
São diferentes, portanto e são dependentes.

Resposta

Distribuição conjunta:
P(X=x,Y=y)= 0, & yx, ;x,yin1,dots,6
Marginais:
P(X=x)=16, P(Y=y)=2y-136, y=1,dots,6
Independência: não são independentes.

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