Seja a variável bidimensional
com função distribuição de probabilidade
Calcule a covariância entre
e
.
Passo 1
Beleza, vamos começar. O enunciado diz que temos uma variável aleatória discreta com dois componentes,
(que pode ser 1, 2 ou 3) e
(que pode ser 1 ou 2), cuja probabilidade conjunta é
O que a gente quer é a covariância
.
Conteúdo da matéria: probabilidade discreta, distribuição conjunta, marginais, esperança (valor esperado) e covariância.
O que vamos precisar:
Conteúdo da matéria: probabilidade discreta, distribuição conjunta, marginais, esperança (valor esperado) e covariância.
O que vamos precisar:
- Achar
pela normalização (soma das probabilidades = 1). - Calcular as distribuições marginais
e . - Calcular
, e . - Usar
.
Passo 2
Primeiro, normalizar para achar
. A soma de todas as probabilidades deve dar 1:
Vamos calcular o somatório interno de
:
x=1:
x=2:
x=3:
Total = .
Então
x=1:
x=2:
x=3:
Total =
Então
Passo 3
Agora vamos às marginais e às esperanças.
Teoria rápida:
Teoria rápida:
- A distribuição marginal de
é . - A esperança
.
Para
:
Substituindo
:
Logo
Passo 4
Fazendo o mesmo para
:
Então
Passo 5
Agora precisamos de
. Por definição
Vamos somar os 6 termos:
x=1,y=1:
x=1,y=2: ⇒ total 8
x=2,y=1:
x=2,y=2: ⇒ total 22
x=3,y=1:
x=3,y=2: ⇒ total 42
Somando tudo: .
Logo
x=1,y=1:
x=1,y=2:
x=2,y=1:
x=2,y=2:
x=3,y=1:
x=3,y=2:
Somando tudo:
Logo
Passo 6
Por fim, a covariância é
Calculando
e
, temos
Resposta
A covariância entre
e
é