Seja a variável bidimensional (X, Y) com função distribuição de probabilidade
P(X=x, Y=y)=l k(x+y), x=1,2,3, y=1,2 0, caso contrário á
Calcule a covariância entre X e Y.

Passo 1

Beleza, vamos começar. O enunciado diz que temos uma variável aleatória discreta com dois componentes, P(X=x, Y=y)= k,(x+y),& x=1,2,3,;y=1,2, 0,&caso contrário (que pode ser 1, 2 ou 3) e (que pode ser 1 ou 2), cuja probabilidade conjunta é
á
O que a gente quer é a covariância .
Conteúdo da matéria: probabilidade discreta, distribuição conjunta, marginais, esperança (valor esperado) e covariância.
O que vamos precisar:
  1. Achar pela normalização (soma das probabilidades = 1).
  2. Calcular as distribuições marginais e .
  3. Calcular , e .
  4. Usar .

Passo 2

Primeiro, normalizar para achar sumx=1^3sumy=1^2k,(x+y)=1 . A soma de todas as probabilidades deve dar 1:
kcdot21=1 Longrightarrow k=121
Vamos calcular o somatório interno de :
x=1:
x=2:
x=3:
Total = .
Então

Passo 3

Agora vamos às marginais e às esperanças.
Teoria rápida:
  • A distribuição marginal de PX(x)=sumy=1^2k,(x+y) =kl[(x+1)+(x+2)r] =k,(2x+3) é PX(x)=2x+321 .
  • A esperança E[X] =sumx=1^3 x,PX(x) =1cdot5 + 2cdot7 + 3cdot921 =5+14+2721 =4621 .
Para :
Substituindo :
Logo

Passo 4

Fazendo o mesmo para PY(y)=sumx=1^3k,(x+y) =kl[(1+y)+(2+y)+(3+y)r] =k,(6+3y) =6+3y21 :
E[Y] =sumy=1^2 y,PY(y) =1cdot9 + 2cdot1221 =9+2421 =3321 =117
Então

Passo 5

Agora precisamos de E[XY] =sumx=1^3sumy=1^2 x,y,P(x,y) =sumx,yx,y,x+y21 =121sumx,yx,y,(x+y) . Por definição
E[XY]=7221=247
Vamos somar os 6 termos:
x=1,y=1:
x=1,y=2: ⇒ total 8
x=2,y=1:
x=2,y=2: ⇒ total 22
x=3,y=1:
x=3,y=2: ⇒ total 42
Somando tudo: .
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Passo 6

Por fim, a covariância é
Cov(X,Y) =E[XY]-E[X],E[Y] =247-4621,cdot117
Calculando Cov(X,Y) =504147-506147 =-2147 e , temos

Resposta

A covariância entre boxedCov(X,Y)=-2147 e é

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