Uma urna contém três bolas enumeradas
. Duas bolas são tiradas sucessivamente da urna, ao acaso e sem reposição. Seja
o número da primeira bola tirada e
o número da segunda. Encontre as distribuições marginais de
e de
.
Passo 1
Resumo rápido do enunciado: temos uma urna com três bolas numeradas 1, 2 e 3. A gente tira duas bolas, uma de cada vez, sem repor. Chamamos de
o número da primeira bola e de
o número da segunda.
Conteúdo envolvido: probabilidade discreta, distribuição conjunta e marginal.
O que vamos precisar:
Conteúdo envolvido: probabilidade discreta, distribuição conjunta e marginal.
O que vamos precisar:
- saber enumerar todos os pares possíveis
e suas probabilidades (distribuição conjunta). - a fórmula da marginal:
Passo 2
Vamos listar a distribuição conjunta
. Como não há reposição, cada par de bolas distintas é igualmente provável. Os pares possíveis são:
.
São 6 casos, todos com probabilidade igual a
São 6 casos, todos com probabilidade igual a
Por exemplo,
,
, etc.
Passo 3
Agora calculamos a distribuição marginal de
.
Pela fórmula
Pela fórmula
Para
:
Mesma lógica para
:
E para
:
Passo 4
Agora a distribuição marginal de
.
Usamos
Usamos
Para
:
Para
:
Para
:
Resposta
As distribuições marginais são uniformes em
: