Uma urna contém três bolas enumeradas 1,2,3. Duas bolas são tiradas sucessivamente da urna, ao acaso e sem reposição. Seja X o número da primeira bola tirada e Y o número da segunda. Encontre as distribuições marginais de X e de Y.

Passo 1

Resumo rápido do enunciado: temos uma urna com três bolas numeradas 1, 2 e 3. A gente tira duas bolas, uma de cada vez, sem repor. Chamamos de PX(x) = sumy PX,Y(x,y), PY(y) = sumx PX,Y(x,y) o número da primeira bola e de o número da segunda.
Conteúdo envolvido: probabilidade discreta, distribuição conjunta e marginal.
O que vamos precisar:
  • saber enumerar todos os pares possíveis e suas probabilidades (distribuição conjunta).
  • a fórmula da marginal:

Passo 2

Vamos listar a distribuição conjunta PX,Y(x,y) = 16 . Como não há reposição, cada par de bolas distintas é igualmente provável. Os pares possíveis são:
.
São 6 casos, todos com probabilidade igual a
Por exemplo, , , etc.

Passo 3

Agora calculamos a distribuição marginal de PX(x) ;=; sumy=1^3 PX,Y(x,y) .
Pela fórmula
PX(1) = PX,Y(1,2) + PX,Y(1,3) = tfrac16 + tfrac16 = tfrac26 = tfrac13
Para PX(2) = PX,Y(2,1) + PX,Y(2,3) = tfrac16 + tfrac16 = tfrac13 :
PX(3) = PX,Y(3,1) + PX,Y(3,2) = tfrac16 + tfrac16 = tfrac13
Mesma lógica para :
E para :

Passo 4

Agora a distribuição marginal de PY(y) ;=; sumx=1^3 PX,Y(x,y) .
Usamos
PY(1) = PX,Y(2,1) + PX,Y(3,1) = tfrac16 + tfrac16 = tfrac13
Para PY(2) = PX,Y(1,2) + PX,Y(3,2) = tfrac16 + tfrac16 = tfrac13 :
PY(3) = PX,Y(1,3) + PX,Y(2,3) = tfrac16 + tfrac16 = tfrac13
Para :
Para :

Resposta

As distribuições marginais são uniformes em boxed PX(i) = tfrac13, PY(i) = tfrac13 para i=1,2,3 :

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