Suponha que três bolas são selecionadas ao acaso sem reposição de uma urna contendo três bolas vermelhas, quatro brancas e cinco bolas azuis. Sejam
e
respectivamente o número de bolas vermelhas e o número de bolas brancas escolhidas. Determine: Encontre o vetor de médias e a matriz de variâncias e covariâncias de
.
Passo 1
Beleza, deixa eu explicar resumido o que temos:
• Enunciado: numa urna com 3 bolas vermelhas, 4 brancas e 5 azuis (total 12), a gente tira 3 bolas sem repor.
• Variáveis: X = número de vermelhas tiradas, Y = número de brancas tiradas.
• Conteúdo: distribuição hipergeométrica multivariada (porque tem categorias e sem reposição), e daí a gente vai usar as fórmulas de média, variância e covariância dessa distribuição.
• Enunciado: numa urna com 3 bolas vermelhas, 4 brancas e 5 azuis (total 12), a gente tira 3 bolas sem repor.
• Variáveis: X = número de vermelhas tiradas, Y = número de brancas tiradas.
• Conteúdo: distribuição hipergeométrica multivariada (porque tem categorias e sem reposição), e daí a gente vai usar as fórmulas de média, variância e covariância dessa distribuição.
Passo 2
Primeiro, a ideia geral da multivariada hipergeométrica: se você tira n bolas de um total N, onde a categoria i tem
itens, então
Aqui N=12 e n=3.
- Para X (vermelhas),
, logo
- Para Y (brancas),
, logo
Passo 3
Agora a variância de cada categoria na hipergeométrica:
Para X (vermelhas):
Passo 4
Mesma fórmula pra Y (brancas), só trocando
:
Passo 5
Pra covariância entre duas categorias
na multivariada hipergeométrica, a fórmula é
Aqui, i=vermelhas e j=brancas:
Resposta
Vetor de médias:
[
.
]
Matriz de variâncias e covariâncias:
[
]