Suponha que três bolas são selecionadas ao acaso sem reposição de uma urna contendo três bolas vermelhas, quatro brancas e cinco bolas azuis. Sejam X e Y respectivamente o número de bolas vermelhas e o número de bolas brancas escolhidas. Determine: Encontre o vetor de médias e a matriz de variâncias e covariâncias de (X, Y).

Passo 1

Beleza, deixa eu explicar resumido o que temos:
• Enunciado: numa urna com 3 bolas vermelhas, 4 brancas e 5 azuis (total 12), a gente tira 3 bolas sem repor.
• Variáveis: X = número de vermelhas tiradas, Y = número de brancas tiradas.
• Conteúdo: distribuição hipergeométrica multivariada (porque tem categorias e sem reposição), e daí a gente vai usar as fórmulas de média, variância e covariância dessa distribuição.

Passo 2

Primeiro, a ideia geral da multivariada hipergeométrica: se você tira n bolas de um total N, onde a categoria i tem E[Xi] ;=; n;NiN, itens, então
E[X]=3cdot312=912=34approx0,75
Aqui N=12 e n=3.
  • Para X (vermelhas), E[Y]=3cdot412=1212=1, logo
  • Para Y (brancas), , logo

Passo 3

Agora a variância de cada categoria na hipergeométrica:
Var(Xi) = n;NiNl(1-NiNr);,N-n,,N-1,,
Para X (vermelhas):
Var(X) =3cdot312l(1-312r);12-312-1 =3cdot14cdot34cdot911 =81176approx0,4602

Passo 4

Mesma fórmula pra Y (brancas), só trocando Var(Y) =3cdot412l(1-412r);911 =3cdot13cdot23cdot911 =611approx0,5455 :

Passo 5

Pra covariância entre duas categorias Cov(Xi,Xj) =-,n;NiN,NjN;N-nN-1, na multivariada hipergeométrica, a fórmula é
Cov(X,Y) =-3cdot312cdot412cdot911 =-944approx-0,2045
Aqui, i=vermelhas e j=brancas:

Resposta

Vetor de médias:
[
E[X][6pt] E[Y] = 34[4pt] 1

Var(X) & Cov(X,Y)[6pt] Cov(X,Y) & Var(Y) = 81176 & -944[6pt] -944 & 611 .
]
Matriz de variâncias e covariâncias:
[

.
]

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