Dois discos não necessariamente uniformes com centro de massa em seus centros geométricos descem um plano inclinado partindo do repouso. Os discos tem a mesma massa m e o mesmo momento de inércia I, mas o raio de um deles é o dobro do outro, R_{1}=2 R_{2}. Se o disco 1 desce o plano a partir de uma altura h_{1} e chega no final do plano com uma velocidade v_{1}. Determine v_{1} em função das grandezas g, h_{1}, I, m, e R_{1}. De que altura h_{2} o disco 2 deve descer para chegar ao final do plano com a mesma velocidade v_{1}. Determine v_{2} também em função de g, h_{1}, I, m, e R_{1}.

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações (todas as grandezas listadas abaixo foram fornecidas no enunciado):
  • Dois discos têm mesma massa m e mesmo momento de inércia em relação ao centro I.
  • Os raios satisfazem R_{1}=2R_{2}.
  • O disco 1 parte do repouso e desce uma altura h_{1}, chegando ao final com velocidade v_{1}.
    O enunciado pede:
  • Determinar v_{1} em função de g,\;h_{1},\;I,\;m e R_{1}.
  • Determinar a altura h_{2} que o disco 2 deve descer para chegar ao final com a mesma velocidade v_{1}.
  • Determinar v_{2} em função de g,\;h_{1},\;I,\;m e R_{1}.

Passo 2

Qual é a ideia física que conecta altura inicial e velocidade final? Quando um objeto rola sem deslizar, a energia potencial gravitacional inicial se transforma em energia cinética de translação e em energia cinética de rotação. Vamos usar essa conservação de energia mecânica (assumindo sem perda por atrito que faça trabalho, porque o atrito estático que permite rolar sem deslizar não realiza trabalho). Vou explicar as fórmulas que vamos usar:
  • Energia potencial gravitacional inicial: \,m g h\,, onde m é a massa, g a aceleração da gravidade e h a altura.
  • Energia cinética de translação no final: \dfrac{1}{2} m v^{2}, onde v é a velocidade do centro do disco.
  • Energia cinética de rotação no final (em torno do centro): \dfrac{1}{2} I \omega^{2}, onde I é o momento de inércia do disco em relação ao seu centro e \omega é a velocidade angular.
  • Relação sem deslizamento: a velocidade linear do centro do disco está ligada à velocidade angular por \,v=\omega R\,, onde R é o raio do disco. Assim \omega = v/R.
    Essas são as peças físicas e matemáticas que vamos combinar.

Passo 3

Escrevendo a conservação de energia para o disco 1 (parte do repouso, toda energia potencial vira energias cinéticas no final):
m g h_{1} = \frac{1}{2} m v_{1}^{2} + \frac{1}{2} I \omega_{1}^{2}.
Substituindo \omega_{1} = v_{1}/R_{1} obtemos
m g h_{1} = \frac{1}{2} m v_{1}^{2} + \frac{1}{2} I \left(\frac{v_{1}}{R_{1}}\right)^{2}.
Multiplicando ambos os lados por 2 para eliminar os meios:
2 m g h_{1} = m v_{1}^{2} + I \frac{v_{1}^{2}}{R_{1}^{2}}.
Agora fatoramos v_{1}^{2} no lado direito:
2 m g h_{1} = \left(m + \frac{I}{R_{1}^{2}}\right) v_{1}^{2}.
Isolando v_{1}^{2} e depois v_{1}:
v_{1}^{2} = \frac{2 m g h_{1}}{m + \dfrac{I}{R_{1}^{2}}} \qquad\Rightarrow\qquad v_{1} = \sqrt{\frac{2 m g h_{1}}{m + \dfrac{I}{R_{1}^{2}}}}.
Essa é a expressão pedida: a velocidade final é menor quanto maior for a contribuição rotacional \dfrac{I}{R_{1}^{2}} em comparação com m.

Passo 4

Agora vamos achar a altura h_{2} necessária para o disco 2 (raio R_{2}) chegar com a mesma velocidade v_{1}. Para o disco 2 a relação geral entre altura inicial h e velocidade final v é (mesma dedução que acima, trocando R_{1} por R_{2}):
v^{2} = \frac{2 m g h}{m + \dfrac{I}{R_{2}^{2}}}.
Isolando h em termos de uma velocidade final desejada v obtemos
h = \frac{v^{2}}{2 m g}\left(m + \frac{I}{R_{2}^{2}}\right).
Queremos que v=v_{1}. Então para o disco 2:
h_{2} = \frac{v_{1}^{2}}{2 m g}\left(m + \frac{I}{R_{2}^{2}}\right).
Agora substituímos v_{1}^{2} pela expressão que já encontramos em função de h_{1}:
v_{1}^{2}=\frac{2 m g h_{1}}{m + \dfrac{I}{R_{1}^{2}}}.
Substituindo isso em h_{2}:
h_{2} = \frac{1}{2 m g}\left(m + \frac{I}{R_{2}^{2}}\right)\cdot \frac{2 m g h_{1}}{m + \dfrac{I}{R_{1}^{2}}}.
Cancelam os fatores 2 m g, ficando
h_{2} = h_{1}\,\frac{m + \dfrac{I}{R_{2}^{2}}}{m + \dfrac{I}{R_{1}^{2}}}.

Passo 5

Agora use a relação geométrica R_{1}=2R_{2} para expressar h_{2} apenas com R_{1} (como pediu o enunciado). Primeiro escrevemos R_{2} = R_{1}/2, então
\frac{1}{R_{2}^{2}} = \frac{1}{(R_{1}/2)^{2}} = \frac{4}{R_{1}^{2}}.
Substituindo isso em h_{2} obtemos
h_{2} = h_{1}\,\frac{m + \dfrac{I}{R_{2}^{2}}}{m + \dfrac{I}{R_{1}^{2}}} = h_{1}\,\frac{m + \dfrac{4I}{R_{1}^{2}}}{m + \dfrac{I}{R_{1}^{2}}}.
Reescrevendo de forma um pouco mais limpa:
h_{2} = h_{1}\,\frac{m + 4\,I/R_{1}^{2}}{m + I/R_{1}^{2}}.

Passo 6

Finalmente, qual é v_{2}? Se escolhermos h_{2} exatamente como acima, o disco 2 chega com a mesma velocidade que o disco 1, logo
v_{2}=v_{1}.
Podemos então escrever v_{2} em função de g,\;h_{1},\;I,\;m e R_{1} substituindo v_{1}:
v_{2} = \sqrt{\frac{2 m g h_{1}}{m + \dfrac{I}{R_{1}^{2}}}}.

Resposta

v_{1}=\sqrt{\dfrac{2 m g h_{1}}{m + \dfrac{I}{R_{1}^{2}}}}
h_{2}=h_{1}\dfrac{m + \dfrac{4I}{R_{1}^{2}}}{m + \dfrac{I}{R_{1}^{2}}}
v_{2}=v_{1}=\sqrt{\dfrac{2 m g h_{1}}{m + \dfrac{I}{R_{1}^{2}}}}

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