Uma distribuição de carga esfericamente simétrica no espaço livre ( a<r<\infty ) é conhecida por ter uma função de potencial definida por V(r)=V_{0} a^{2} / r^{2}, onde V_{0} e a são constantes.
a. Encontre a intensidade de campo elétrico;
b. Encontre a densidade volumétrica de carga;
c. Qual a carga contida no raio a ?

Passo 1

O enunciado descreve uma distribuição de carga esfericamente simétrica no espaço livre para a<r<\infty cuja função de potencial é
V(r)=V_{0}\,\frac{a^{2}}{r^{2}},
onde V_{0} e a são constantes.
Conteúdo usado:
– Para achar o campo elétrico \mathbf{E} usamos \mathbf{E}=-\nabla V.
– Para obter a densidade volumétrica de carga \rho usamos a forma diferencial da lei de Gauss (Poisson):
\nabla\cdot\mathbf{E}=\frac{\rho}{\varepsilon_{0}}.
– Para a carga contida dentro de um raio r=a usamos a forma integral da lei de Gauss:
Q_{\text{enc}}(r=a)=\varepsilon_{0}\,\oint_{r=a}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}.

Passo 2

Calcular o campo elétrico radial
E_{r}(r)=-\frac{dV}{dr} =-\frac{d}{dr}\Bigl(V_{0}\,\frac{a^{2}}{r^{2}}\Bigr) =2\,V_{0}\,\frac{a^{2}}{r^{3}}.
Como é esfericamente simétrico, \mathbf{E}=E_{r}(r)\,\hat r.

Passo 3

Determinar a densidade volumétrica de carga. Em coordenadas esféricas a divergência radial é
\nabla\cdot\mathbf{E} =\frac{1}{r^{2}}\frac{d}{dr}\bigl(r^{2}E_{r}(r)\bigr) =\frac{1}{r^{2}}\frac{d}{dr}\Bigl(r^{2}\cdot2\,V_{0}\,\frac{a^{2}}{r^{3}}\Bigr) =\frac{1}{r^{2}}\frac{d}{dr}\Bigl(2\,V_{0}\,\frac{a^{2}}{r}\Bigr) =-2\,V_{0}\,\frac{a^{2}}{r^{4}}.
Pela lei de Poisson, \rho=\varepsilon_{0}\,\nabla\cdot\mathbf{E}, logo
\rho(r)=-2\,\varepsilon_{0}\,V_{0}\,\frac{a^{2}}{r^{4}}\quad\text{para }r>a.

Passo 4

Calcular a carga contida dentro do raio a usando Gauss:
Q(r=a) =\varepsilon_{0}\,\oint_{r=a}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{A} =\varepsilon_{0}\,E_{r}(a)\,4\pi a^{2} =\varepsilon_{0}\,\bigl(2\,V_{0}\,\tfrac{a^{2}}{a^{3}}\bigr)\,4\pi a^{2} =8\pi\,\varepsilon_{0}\,V_{0}\,a.

Resposta

(a) \displaystyle \mathbf{E}(r)=2\,V_{0}\,\frac{a^{2}}{r^{3}}\;\hat r.
(b) \displaystyle \rho(r)=-2\,\varepsilon_{0}\,V_{0}\,\frac{a^{2}}{r^{4}}\quad(r>a).
(c) \displaystyle Q(r\le a)=8\pi\,\varepsilon_{0}\,V_{0}\,a.

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