Dois drones estão operando no armazém. O drone A segue uma rota representada pelo vetor va =(6,2, 3), e o drone B segue a rota \mathrm{vb}=(4,3,0). Utilizando-se de produto escalar:
a) Os vetores são ortogonais?
b) Com base no valor do ângulo (em graus) entre os vetores, os drones estão voando em rotas próximas ou bem diferentes?

Passo 1

O enunciado fornece dois vetores de rota dos drones:
\mathbf{v_a}=(6,2,3) e \mathbf{v_b}=(4,3,0).
O conteúdo é produto escalar de vetores em \mathbb{R}^3 e cálculo do ângulo entre eles usando suas normas.

Passo 2

Calculamos o produto escalar pelo critério
\mathbf{v_a}\cdot \mathbf{v_b} =6\cdot4 + 2\cdot3 + 3\cdot0 =24 + 6 + 0 =30.

Passo 3

Do passo anterior, como
\mathbf{v_a}\cdot \mathbf{v_b}=30\neq0,
concluímos que os vetores não são ortogonais.

Passo 4

Agora precisamos das normas para achar o ângulo.
\|\mathbf{v_a}\| =\sqrt{6^2 + 2^2 + 3^2} =\sqrt{36 + 4 + 9} =\sqrt{49} =7,
\|\mathbf{v_b}\| =\sqrt{4^2 + 3^2 + 0^2} =\sqrt{16 + 9 + 0} =\sqrt{25} =5.

Passo 5

Usamos a definição
\cos\theta =\frac{\mathbf{v_a}\cdot \mathbf{v_b}}{\|\mathbf{v_a}\|\;\|\mathbf{v_b}\|} =\frac{30}{7\cdot5} =\frac{6}{7}\approx0,8571.
Logo
\theta =\operatorname{arccos}\Bigl(\frac{6}{7}\Bigr) \approx31^\circ.

Passo 6

Como \theta\approx31^\circ é um ângulo relativamente pequeno, as rotas dos drones são próximas, não muito diferentes.

Resposta

a) Não, os vetores não são ortogonais porque \mathbf{v_a}\cdot \mathbf{v_b}=30\neq0.
b) O ângulo entre eles é cerca de 31^\circ, indicando que as rotas estão relativamente próximas.

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