Durante a execução de um algoritmo de reconstrução tridimensional, uma câmera captura a posição estimada de um ponto de interesse
, que pode representar, por exemplo, a ponta de um dedo detectado por visão computacional. No
entanto, o ponto reconstruído deve pertencer à superfície plana que modela uma tela sensível ao toque, dada pelo plano
.
(a) Determine o ponto da superfície que está mais próximo do ponto
.
(b) Supondo que a tela seja fisicamente limitada à interseção do plano com a reta
, determine, nessa reta, os pontos mais próximos e mais distantes de
.
entanto, o ponto reconstruído deve pertencer à superfície plana que modela uma tela sensível ao toque, dada pelo plano
(a) Determine o ponto da superfície que está mais próximo do ponto
(b) Supondo que a tela seja fisicamente limitada à interseção do plano com a reta
Passo 1
O enunciado dá um ponto
, um plano
e uma reta
(a) Queremos o ponto de
mais próximo de
: é a projeção ortogonal de
sobre
.
(b) Queremos, na reta , o(s) ponto(s) mais próximo(s) e mais distante(s) de
: isso equivale a extremizar a função distância de
a
.
(b) Queremos, na reta
Passo 2
Para projetar
em
usamos a normal do plano
e a fórmula da projeção ortogonal:
Passo 3
Calculamos
Logo o fator é
Passo 4
Aplicando na fórmula da projeção:
Passo 5
Agora, na reta
, um ponto geral é
. A distância ao quadrado de
a
é
Expandindo:
Passo 6
Para achar extremos, derivamos
e igualamos a zero:
Esse
dá o ponto mais próximo:
Passo 7
Como
é uma parábola com coeficiente positivo em
, não há máximo finito: a distância cresce sem limite quando
.
Resposta
(a) O ponto de
mais próximo de
é
(b) Sobre a reta
, o ponto mais próximo de
é
e não existe ponto mais distante (a distância cresce sem limite quando
).