Durante a execução de um algoritmo de reconstrução tridimensional, uma câmera captura a posição estimada de um ponto de interesse P=(4,2,5), que pode representar, por exemplo, a ponta de um dedo detectado por visão computacional. No
entanto, o ponto reconstruído deve pertencer à superfície plana que modela uma tela sensível ao toque, dada pelo plano \pi: x-2 y+z=3.
(a) Determine o ponto da superfície que está mais próximo do ponto P.
(b) Supondo que a tela seja fisicamente limitada à interseção do plano com a reta r: X=(0,0,0)+\lambda(1,1,1), determine, nessa reta, os pontos mais próximos e mais distantes de P.

Passo 1

O enunciado dá um ponto \displaystyle P=(4,2,5), um plano
\pi: x - 2y + z = 3
e uma reta
r: X(\lambda) = (0,0,0) + \lambda\,(1,1,1).
(a) Queremos o ponto de \pi mais próximo de P: é a projeção ortogonal de P sobre \pi.
(b) Queremos, na reta r, o(s) ponto(s) mais próximo(s) e mais distante(s) de P: isso equivale a extremizar a função distância de P a X(\lambda).

Passo 2

Para projetar P em \pi usamos a normal do plano
n = (1,-2,1),
e a fórmula da projeção ortogonal:
P_{\mathrm{proj}} = P \;-\; \frac{n\cdot P - 3}{\|n\|^2}\;n.

Passo 3

Calculamos
n\cdot P = 1\cdot4 + (-2)\cdot2 + 1\cdot5 = 4 - 4 + 5 = 5,
\|n\|^2 = 1^2 + (-2)^2 + 1^2 = 6.
Logo o fator é
\frac{n\cdot P - 3}{\|n\|^2} = \frac{5 - 3}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}.

Passo 4

Aplicando na fórmula da projeção:
P_{\mathrm{proj}} = (4,2,5) \;-\; \tfrac13\,(1,-2,1) = \Bigl(4 - \tfrac13,\;2 + \tfrac23,\;5 - \tfrac13\Bigr) = \Bigl(\tfrac{11}{3},\;\tfrac{8}{3},\;\tfrac{14}{3}\Bigr).

Passo 5

Agora, na reta r, um ponto geral é X(\lambda)=(\lambda,\lambda,\lambda). A distância ao quadrado de P a X(\lambda) é
f(\lambda) = (\lambda-4)^2 + (\lambda-2)^2 + (\lambda-5)^2.
Expandindo:
f(\lambda) = 3\lambda^2 - 22\lambda + 45.

Passo 6

Para achar extremos, derivamos
f'(\lambda) = 6\lambda - 22,
e igualamos a zero:
6\lambda - 22 = 0 \quad\Longrightarrow\quad \lambda = \frac{22}{6} = \frac{11}{3}.
Esse \lambda dá o ponto mais próximo:
X\bigl(\tfrac{11}{3}\bigr) = \Bigl(\tfrac{11}{3},\tfrac{11}{3},\tfrac{11}{3}\Bigr).

Passo 7

Como f(\lambda) é uma parábola com coeficiente positivo em \lambda^2, não há máximo finito: a distância cresce sem limite quando \lambda \to \pm\infty.

Resposta

(a) O ponto de \pi mais próximo de P é
\Bigl(\tfrac{11}{3},\;\tfrac{8}{3},\;\tfrac{14}{3}\Bigr).
(b) Sobre a reta r, o ponto mais próximo de P é
\Bigl(\tfrac{11}{3},\;\tfrac{11}{3},\;\tfrac{11}{3}\Bigr),
e não existe ponto mais distante (a distância cresce sem limite quando \lambda\to\pm\infty).

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