Dois robôs móveis seguem trajetórias descritas pelas retas r_{1}: X=(1,0,0)+\lambda(1,2,1) e r_{2}: X=(0,1,1)+\mu(2,-1,0). Calcule a menor distância entre as duas retas. Esta medida é usada para verificar o risco de colisão.
Passo 1
O enunciado diz que temos duas retas em \mathbb{R}^3: \displaystyle r_{1}:X=(1,0,0)+\lambda\,(1,2,1) e \displaystyle r_{2}:X=(0,1,1)+\mu\,(2,-1,0).
Queremos a menor distância entre essas retas – o caso típico de retas “reversas” (não se cruzam nem são paralelas). Para isso usamos a fórmula baseada no produto misto entre o vetor que liga pontos de uma reta a outra e o produto vetorial dos diretores.
Passo 2
Vamos chamar \mathbf{A}_1=(1,0,0), \mathbf{u}=(1,2,1) (direção de r_1)
e \mathbf{A}_2=(0,1,1), \mathbf{v}=(2,-1,0) (direção de r_2).
Definimos o vetor que liga \mathbf{A}_1 a \mathbf{A}_2 como \displaystyle \mathbf{w}=\mathbf{A}_2-\mathbf{A}_1=(-1,1,1).
A fórmula da distância mínima é
d \;=\; \frac{\bigl|\mathbf{w}\cdot(\mathbf{u}\times\mathbf{v})\bigr|}{\|\mathbf{u}\times\mathbf{v}\|}.
Passo 3
Calculemos o produto vetorial \mathbf{u}\times\mathbf{v}: