Dois robôs móveis seguem trajetórias descritas pelas retas r_{1}: X=(1,0,0)+ \lambda(1,2,1) e r_{2}: X=(0,1,1)+\mu(2,-1,0). Calcule a menor distância entre as duas retas. Esta medida é usada para verificar o risco de colisão.

Passo 1

O enunciado diz que temos duas retas em \mathbb{R}^3: \displaystyle r_{1}:X=(1,0,0)+\lambda\,(1,2,1) e \displaystyle r_{2}:X=(0,1,1)+\mu\,(2,-1,0).
Queremos a menor distância entre essas retas – o caso típico de retas “reversas” (não se cruzam nem são paralelas). Para isso usamos a fórmula baseada no produto misto entre o vetor que liga pontos de uma reta a outra e o produto vetorial dos diretores.

Passo 2

Vamos chamar \mathbf{A}_1=(1,0,0), \mathbf{u}=(1,2,1) (direção de r_1)
e \mathbf{A}_2=(0,1,1), \mathbf{v}=(2,-1,0) (direção de r_2).
Definimos o vetor que liga \mathbf{A}_1 a \mathbf{A}_2 como \displaystyle \mathbf{w}=\mathbf{A}_2-\mathbf{A}_1=(-1,1,1).
A fórmula da distância mínima é
d \;=\; \frac{\bigl|\mathbf{w}\cdot(\mathbf{u}\times\mathbf{v})\bigr|}{\|\mathbf{u}\times\mathbf{v}\|}.

Passo 3

Calculemos o produto vetorial \mathbf{u}\times\mathbf{v}:
\mathbf{u}\times\mathbf{v} =\begin{vmatrix} \mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\\\ 1&2&1\\\\ 2&-1&0 \end{vmatrix} =(1\cdot0-1\cdot(-1),\,-(1\cdot0-1\cdot2),\,1\cdot(-1)-2\cdot2) =(1,2,-5).
Então \|\mathbf{u}\times\mathbf{v}\|=\sqrt{1^2+2^2+(-5)^2}=\sqrt{30}.

Passo 4

Agora o produto escalar no numerador:
\mathbf{w}\cdot(\mathbf{u}\times\mathbf{v}) =(-1)\cdot1+1\cdot2+1\cdot(-5) =-1+2-5=-4,
e seu valor absoluto é \bigl|\,-4\bigr|=4. Substituindo na fórmula:
d=\frac{4}{\sqrt{30}} =\frac{4\sqrt{30}}{30} =\frac{2\sqrt{30}}{15}.

Resposta

A menor distância entre as duas retas é
\frac{4}{\sqrt{30}}\approx0,7303.

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