Dois eventos ocorrem no mesmo ponto
do referencial
nos instantes t’
e t’
. (a) Use as equações da transformação inversa de Lorentz para mostrar que, no referencial S, o intervalo entre os eventos é igual a
. Por que, neste tipo de problema, as equações da transformação direta de Lorentz são menos convenientes que as equações da transformação inversa?
Passo 1
O enunciado dá duas informações claras e pede duas coisas:
- Informações dadas:
- Dois eventos ocorrem no mesmo ponto do referencial
. Isto é, para os dois eventos vale . - Os instantes em
desses eventos são e .
- Dois eventos ocorrem no mesmo ponto do referencial
- O que o enunciado pede:
- (a) Mostrar, usando as equações da transformação inversa de Lorentz, que no referencial
o intervalo de tempo entre os eventos é . - (b) Explicar por que, nesse tipo de problema, as equações da transformação direta de Lorentz são menos convenientes que as equações da transformação inversa.
- (a) Mostrar, usando as equações da transformação inversa de Lorentz, que no referencial
Passo 2
Relembrando as fórmulas e o significado das quantidades (tudo bem devagarinho):
- A velocidade relativa entre
e é . A constante é a velocidade da luz. - A fator de Lorentz
é definido por
Expliquei:
depende só da velocidade relativa
e é sempre
. Quanto mais rápido for
(próximo de
), maior é
.
Passo 3
Escrevendo explicitamente as transformações inversas de Lorentz (essas transformam coordenadas de
para
; isto é, dão
e
em função de
e
):
Explicando as variáveis dentro das fórmulas:
e
são as coordenadas no referencial
;
e
são as coordenadas correspondentes no referencial
. Essas fórmulas assumem a origem e eixos sincronizados de forma padrão (as formas usuais da transformação de Lorentz).
Passo 4
Aplicar as fórmulas aos dois eventos. Como ambos ocorrem no mesmo ponto de
, temos
. Então usando a fórmula para
:
Aqui mostrei explicitamente
e
em função de
e do mesmo
.
Passo 5
Agora calculo o intervalo de tempo no referencial
:
Substituindo as expressões de
e
:
Como as parcelas com
são idênticas, elas se cancelam:
Isso é exatamente o que pediam para mostrar. Nota: aqui não precisei conhecer
explicitamente; apenas usei que era o mesmo para os dois eventos.
Passo 6
Interpretação física e conceito importante (aulas rápidas sobre o que isso significa na prova):
- Quando dois eventos ocorrem no mesmo ponto de
, a diferença é o tempo medido por um único relógio em . Esse intervalo é o tempo próprio (proper time) entre os eventos: . - A relação
é a fórmula clássica do efeito de dilatação do tempo: observadores em veem o intervalo entre esses eventos ampliado por um fator . Em palavras de café: um relógio em movimento (relativamente a ) “anda mais devagar” de modo que mede um intervalo maior. - Observação prática para prova: sempre que os dois eventos ocorrem no mesmo lugar em algum referencial, o intervalo naquele referencial é o tempo próprio; aí já sabe que a transformação para outro referencial dá dilatação
.
Passo 7
Por que as equações diretas seriam menos convenientes aqui?
- A transformação direta de Lorentz (de
para ) tem a forma
- Se se usa essa fórmula para resolver o problema, teria que partir de tempos e posições em
( e ) para encontrar . Mas no enunciado os dados conhecidos são e (ambos eventos no mesmo ), não e . - Portanto, a transformação direta exige primeiro descobrir as coordenadas em
(ou inverter as equações), o que é trabalho desnecessário. A transformação inversa já dá diretamente em função de e , que são os dados que o enunciado fornece — por isso é muito mais direta e conveniente. - Regra prática para a prova: transforme sempre do referencial onde os dados são conhecidos para o referencial onde se quer a resposta. Isso evita algebra desnecessária.
Passo 8
Exemplo numérico rápido para fixar (opcional, serve para a prova como checagem mental):
- Tome
. Então
- Se
s então s. - Conclusão prática: nesse exemplo, o observador em
mede 12,5 s entre os eventos, maior que os 10 s medidos por quem está no .
Resposta
A transformação inversa é mais conveniente porque expressa
diretamente em função de
e
, e no enunciado os dados fornecidos são
e
; a transformação direta daria
em função de
e
, exigindo primeiro descobrir as coordenadas em
(passo extra desnecessário).