Dois eventos ocorrem no mesmo ponto x^{\prime}{ }_{0} do referencial S^{\prime} nos instantes t’ { }_{1} e t’ { }_{2}. (a) Use as equações da transformação inversa de Lorentz para mostrar que, no referencial S, o intervalo entre os eventos é igual a \gamma\left(\mathrm{t}^{\prime}{ }_{2}-\mathrm{t}^{\prime}{ }_{1}\right). Por que, neste tipo de problema, as equações da transformação direta de Lorentz são menos convenientes que as equações da transformação inversa?

Passo 1

O enunciado dá duas informações claras e pede duas coisas:
  • Informações dadas:
    • Dois eventos ocorrem no mesmo ponto do referencial S'. Isto é, para os dois eventos vale \,x'_1 = x'_2 = x'_0.
    • Os instantes em S' desses eventos são t'_1 e t'_2.
  • O que o enunciado pede:
    • (a) Mostrar, usando as equações da transformação inversa de Lorentz, que no referencial S o intervalo de tempo entre os eventos é \gamma\bigl(t'_2 - t'_1\bigr).
    • (b) Explicar por que, nesse tipo de problema, as equações da transformação direta de Lorentz são menos convenientes que as equações da transformação inversa.

Passo 2

Relembrando as fórmulas e o significado das quantidades (tudo bem devagarinho):
  • A velocidade relativa entre S e S' é v. A constante c é a velocidade da luz.
  • A fator de Lorentz \gamma é definido por
\gamma = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{v^2}{c^2}}}.
Expliquei: \gamma depende só da velocidade relativa v e é sempre \gamma\ge1. Quanto mais rápido for v (próximo de c), maior é \gamma.

Passo 3

Escrevendo explicitamente as transformações inversas de Lorentz (essas transformam coordenadas de S' para S; isto é, dão x e t em função de x' e t'):
x = \gamma\bigl(x' + v\,t'\bigr)
t = \gamma\!\left(t' + \dfrac{v\,x'}{c^2}\right)
Explicando as variáveis dentro das fórmulas: x' e t' são as coordenadas no referencial S'; x e t são as coordenadas correspondentes no referencial S. Essas fórmulas assumem a origem e eixos sincronizados de forma padrão (as formas usuais da transformação de Lorentz).

Passo 4

Aplicar as fórmulas aos dois eventos. Como ambos ocorrem no mesmo ponto de S', temos x'_1 = x'_2 = x'_0. Então usando a fórmula para t:
t_1 = \gamma\!\left(t'_1 + \dfrac{v\,x'_0}{c^2}\right)
t_2 = \gamma\!\left(t'_2 + \dfrac{v\,x'_0}{c^2}\right)
Aqui mostrei explicitamente t_1 e t_2 em função de t'_1,t'_2 e do mesmo x'_0.

Passo 5

Agora calculo o intervalo de tempo no referencial S:
\Delta t \equiv t_2 - t_1
Substituindo as expressões de t_2 e t_1:
\Delta t = \gamma\!\left(t'_2 + \dfrac{v\,x'_0}{c^2}\right) - \gamma\!\left(t'_1 + \dfrac{v\,x'_0}{c^2}\right)
Como as parcelas com x'_0 são idênticas, elas se cancelam:
\Delta t = \gamma\bigl(t'_2 - t'_1\bigr).
Isso é exatamente o que pediam para mostrar. Nota: aqui não precisei conhecer x'_0 explicitamente; apenas usei que era o mesmo para os dois eventos.

Passo 6

Interpretação física e conceito importante (aulas rápidas sobre o que isso significa na prova):
  • Quando dois eventos ocorrem no mesmo ponto de S', a diferença \Delta t' = t'_2 - t'_1 é o tempo medido por um único relógio em S'. Esse intervalo é o tempo próprio (proper time) entre os eventos: \Delta\tau = \Delta t'.
  • A relação \Delta t = \gamma\,\Delta\tau é a fórmula clássica do efeito de dilatação do tempo: observadores em S veem o intervalo entre esses eventos ampliado por um fator \gamma. Em palavras de café: um relógio em movimento (relativamente a S) “anda mais devagar” de modo que S mede um intervalo maior.
  • Observação prática para prova: sempre que os dois eventos ocorrem no mesmo lugar em algum referencial, o intervalo naquele referencial é o tempo próprio; aí já sabe que a transformação para outro referencial dá dilatação \gamma.

Passo 7

Por que as equações diretas seriam menos convenientes aqui?
  • A transformação direta de Lorentz (de S para S') tem a forma
t' = \gamma\!\left(t - \dfrac{v\,x}{c^2}\right).
  • Se se usa essa fórmula para resolver o problema, teria que partir de tempos e posições em S ( t e x) para encontrar t'. Mas no enunciado os dados conhecidos são x' e t' (ambos eventos no mesmo x'), não x e t.
  • Portanto, a transformação direta exige primeiro descobrir as coordenadas em S (ou inverter as equações), o que é trabalho desnecessário. A transformação inversa já dá diretamente t em função de t' e x', que são os dados que o enunciado fornece — por isso é muito mais direta e conveniente.
  • Regra prática para a prova: transforme sempre do referencial onde os dados são conhecidos para o referencial onde se quer a resposta. Isso evita algebra desnecessária.

Passo 8

Exemplo numérico rápido para fixar (opcional, serve para a prova como checagem mental):
  • Tome v=0{,}6\,c. Então
\gamma = \dfrac{1}{\sqrt{1-(0{,}6)^2}} = \dfrac{1}{\sqrt{1-0{,}36}} = \dfrac{1}{\sqrt{0{,}64}} = \dfrac{1}{0{,}8}=1{,}25.
  • Se \Delta t' = t'_2 - t'_1 = 10 s então \Delta t = \gamma\,\Delta t' = 1{,}25\times 10 = 12{,}5 s.
  • Conclusão prática: nesse exemplo, o observador em S mede 12,5 s entre os eventos, maior que os 10 s medidos por quem está no S'.

Resposta

\Delta t = \gamma\bigl(t'_2 - t'_1\bigr)
A transformação inversa é mais conveniente porque expressa t diretamente em função de t' e x', e no enunciado os dados fornecidos são t' e x'; a transformação direta daria t' em função de t e x, exigindo primeiro descobrir as coordenadas em S (passo extra desnecessário).

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