Nos “velhos tempos” (por volta de 1935), os pilotos usavam pequenos aviões, com motores relativamente possantes, para disputar corridas em pistas marcadas por postes. Suponha que dois desses pilotos estejam voando a 210 \mathrm{~km} / \mathrm{s}. (Lembre-se de que isso foi há muito tempo!) Os dois aviadores completam o percurso de ida e volta de 40 km , mas suas pistas são perpendiculares e existe um vento constante de 32 \mathrm{~km} / \mathrm{h} soprando paralelamente à pista do primeiro piloto. (a) Qual dos aviões ganha a corrida? Quantos segundos chega na frente do outro? (b) Quais devem ser os cursos adotados pelos dois pilotos em relação aos eixos das respectivas pistas?

Passo 1

O enunciado (com as informações que vou usar) nos dá:
  • Velocidade em relação ao ar de cada avião: V=210\\ \mathrm{km/h}. Observação: o enunciado escreveu 210\\ \mathrm{km/s}, o que é claramente um lapso (incompatível com o vento dado em \mathrm{km/h}). Vou assumir 210\\ \mathrm{km/h}.
  • Velocidade do vento: \vec{w}=(32,0)\\ \mathrm{km/h}, isto é, 32\\ \mathrm{km/h} ao longo do eixo da pista do primeiro piloto (vou tomar esse eixo como o eixo x).
  • As pistas são perpendiculares: pista do primeiro piloto é o eixo x, pista do segundo é o eixo y.
  • Percurso de ida e volta total: 40\\ \mathrm{km}. Portanto cada perna (ida ou volta) tem 20\\ \mathrm{km}.
  • O enunciado pede:
    (a) qual avião vence a corrida e por quantos segundos chega à frente;
    (b) quais cursos (ângulos) cada piloto deve adotar em relação ao eixo da sua pista.

Passo 2

Conceitos fundamentais e notação (aulas rápidas e intuitivas).
  • Velocidade em relação ao ar (vetor do avião em relação ao ar) chamo de \vec{v_a}. Tem intensidade fixa |\vec{v_a}|=V.
  • Velocidade do vento é o vetor \vec{w}.
  • Velocidade em relação ao solo (velocidade de solo, ou ground speed) é
\vec{v_g}=\vec{v_a}+\vec{w}.
Isto significa: o movimento sobre o solo é a soma vetorial do movimento do avião relativo ao ar com o deslocamento do ar devido ao vento. Para voar exatamente ao longo da pista (sem desviar), o piloto escolhe \vec{v_a} de modo que \vec{v_g} fique alinhado com o eixo da pista (apenas componente nesse eixo).
  • Tempo para percorrer uma distância d com velocidade escalar v é
t=\frac{d}{v}.
Vou aplicar essas ideias separadamente para cada piloto.

Passo 3

Análise do primeiro piloto (pista ao longo do eixo x, vento paralelo).
  • Como o vento está paralelo à sua pista ( \vec{w} ao longo de x), o primeiro piloto pode apontar exatamente ao longo do eixo x (sem necessidade de “crab” lateral). Assim, as componentes ao longo de x somam diretamente.
  • Velocidade de solo na ida (supondo ida no sentido positivo x, vento a favor):
v_{g1,\text{ida}}=V+w_x=210+32=242\\ \mathrm{km/h}.
  • Velocidade de solo na volta (contra o vento):
v_{g1,\text{volta}}=V-w_x=210-32=178\\ \mathrm{km/h}.
  • Tempos para cada perna (cada uma com 20\\ \mathrm{km}):
t_{1,\text{ida}}=\frac{20}{242}\\ \mathrm{h},\qquad t_{1,\text{volta}}=\frac{20}{178}\\ \mathrm{h}.
  • Tempo total do primeiro piloto:
T_1=\frac{20}{242}+\frac{20}{178}\\ \mathrm{h}.
Faço as contas (mantendo explicitação para a prova):
\frac{20}{242}\approx 0,0826446\\ \mathrm{h},\qquad \frac{20}{178}\approx 0,1123596\\ \mathrm{h}.
T_1\approx 0,1950042\\ \mathrm{h}.
Converto para segundos (1 hora = 3600 s):
T_1\approx 0,1950042\cdot 3600\\ \mathrm{s}\approx 702,01\\ \mathrm{s}.

Passo 4

Análise do segundo piloto (pista ao longo do eixo y, vento perpendicular).
  • O vento tem componente apenas em x: \vec{w}=(32,0). O segundo piloto quer que a velocidade de solo \vec{v_g} fique puramente em y (sem componente em x), ou seja \vec{v_g}=(0,\pm v_{g2}).
  • Pela relação vetorial \vec{v_g}=\vec{v_a}+\vec{w}, para anular a componente em x devemos ter
v_{a,x}+w_x=0\quad\Rightarrow\quad v_{a,x}=-w_x=-32\\ \mathrm{km/h}.
  • A componente y da velocidade em relação ao ar, v_{a,y}, é determinada pela magnitude fixa V:
V^2=v_{a,x}^2+v_{a,y}^2 \quad\Rightarrow\quad v_{a,y}=\pm\sqrt{V^2-v_{a,x}^2}.
Substituindo números:
v_{a,y}=\pm\sqrt{210^2-32^2}=\pm\sqrt{44100-1024}=\pm\sqrt{43076}.
Calculo numérico:
v_{a,y}\approx \pm 207,548\\ \mathrm{km/h}.
(uso o sinal + para a ida e - para a volta, ou vice-versa; a magnitude é a mesma em ambas as perna.)
  • Como a componente x do ground speed é zero (cancelada), a velocidade de solo ao longo de y é simplesmente
v_{g2}=|v_{a,y}|\approx 207,548\\ \mathrm{km/h}.
  • Tempo total para o segundo piloto (ida+volta, 40\\ \mathrm{km} no total):
T_2=\frac{40}{v_{g2}}=\frac{40}{207,548}\\ \mathrm{h}\approx 0,192659\\ \mathrm{h}.
Em segundos:
T_2\approx 0,192659\cdot 3600\\ \mathrm{s}\approx 693,57\\ \mathrm{s}.

Passo 5

Comparação dos tempos e diferença (quem ganha e por quanto).
  • Temos
T_1\approx 702,01\\ \mathrm{s},\qquad T_2\approx 693,57\\ \mathrm{s}.
  • O segundo piloto é mais rápido: diferença
\Delta T=T_1-T_2\approx 702,01-693,57\\ \mathrm{s}\approx 8,44\\ \mathrm{s}.
Portanto o segundo piloto chega cerca de 8,44\\ \mathrm{s} antes do primeiro.
Pequena intuição (didática): quando o vento é paralelo à pista, a ida com vento a favor e a volta contra o vento produzem tempos que não se “cancelam” simetricamente — a média harmônica causa perda. No caso perpendicular, o candidato compensa com pequeno ângulo e mantém velocidades de solo quase iguais nas duas pernas, resultando em tempo total ligeiramente menor.

Passo 6

Cálculo dos cursos (ângulos) que os pilotos devem adotar em relação aos eixos das pistas.
  • Primeiro piloto: como o vento é paralelo à sua pista, não precisa inclinar o avião lateralmente para permanecer na pista. O curso é exatamente ao longo do eixo da pista, ou seja ângulo
\theta_1=0^\circ
(nenhum desvio em relação ao eixo da pista).
  • Segundo piloto: o vetor da velocidade do avião em relação ao ar tem componente v_{a,x}=-32 e v_{a,y}=+207,548 (para a ida no sentido positivo y). O ângulo \theta_2 entre a direção do curso do avião (a direção do eixo y) e o rumo nominal do avião é dado por
\tan\theta_2=\frac{|v_{a,x}|}{|v_{a,y}|}=\frac{32}{207,548}\approx 0,1542.
Logo
\theta_2=\arctan(0,1542)\approx 0,1530\\ \mathrm{rad}\approx 8,78^\circ.
Interpretação: o segundo piloto deve apontar cerca de 8,78^\circ para o lado de onde o vento vem (isto é, inclinar-se contra o vento) para que sua velocidade de solo fique ao longo do eixo y.

Resposta

(a) O segundo piloto vence a corrida; ele chega aproximadamente 8,44\\ \mathrm{s} à frente do primeiro.
(b) Cursos: primeiro piloto \theta_1=0^\circ (ao longo do eixo da sua pista); segundo piloto deve apontar cerca de \theta_2\approx 8,78^\circ em direção ao vento (isto é, inclinar-se contra o vento) em relação ao eixo da sua pista.

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