No episódio 5 de Guerra nas Estrelas, as espaçonaves do Império lançam sondas não tripuladas cuja missão é descobrir a base da Aliança Rebelde. Suponha que uma espaçonave que está se movendo a uma velocidade de 2,3 \times 10^{8} \mathrm{~m} / \mathrm{s} em direção a Hoth (onde fica a base rebelde) lance uma sonda na direção de Hoth com uma velocidade de 2,1 \times 10^{8} \mathrm{~m} / \mathrm{s} em relação à espaçonave. Se a transformação de Galileu fosse válida para altas velocidades, (a) qual seria a velocidade da sonda em relação a Hoth? (b) Se as sentinelas dos rebeldes estivessem observando a espaçonave do Império através de um telescópio, veriam a sonda antes que ela pousasse em Hoth?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados fornecidos:
    • Velocidade da espaçonave relativa a Hoth: v_{\text{nave}} = 2,3\times10^{8}\\ \mathrm{m/s} (movendo-se em direção a Hoth).
    • Velocidade da sonda relativa à espaçonave (lançada também em direção a Hoth): u' = 2,1\times10^{8}\\ \mathrm{m/s}.
  • Perguntas:
    (a) Se valesse a transformação de Galileu para altas velocidades, qual seria a velocidade da sonda em relação a Hoth?
    (b) As sentinelas em Hoth, observando com um telescópio, veriam a sonda antes que ela pousasse em Hoth?

Passo 2

Explicando a regra de Galileu (a ideia que o enunciado pede para aplicar): quando velocidades são baixas, a adição de velocidades é feita somando-se vetorialmente as velocidades relativas. No caso unidimensional (tudo na mesma linha e mesmo sentido), a fórmula é simples:
u = v_{\text{nave}} + u',
onde:
  • u é a velocidade da sonda medida por Hoth (o referencial “fixo”),
  • v_{\text{nave}} é a velocidade da nave em relação a Hoth,
  • u' é a velocidade da sonda em relação à nave.
Vou usar exatamente essa fórmula para (a), porque o enunciado pede “se a transformação de Galileu fosse válida”.

Passo 3

Aplicando a fórmula de Galileu com os números dados. Primeiro some as mantissas:
2,3 + 2,1 = 4,4.
Os fatores de 10^{8} são iguais, então a soma dá:
u = 4,4\times10^{8}\\ \mathrm{m/s}.
Esta é a velocidade da sonda em relação a Hoth segundo a adição galileana.

Passo 4

Comentário imediato sobre o valor: a velocidade da luz no vácuo é aproximadamente
c = 3,0\times10^{8}\\ \mathrm{m/s}.
Compare u com c:
u = 4,4\times10^{8}\\ \mathrm{m/s} > c = 3,0\times10^{8}\\ \mathrm{m/s}.
Ou seja, segundo a soma galileana a sonda estaria se movendo mais rápido que a luz. (Isso é fisicamente problemático na realidade, mas seguimos a hipótese do enunciado.)

Passo 5

Agora explico, do ponto de vista observacional, o que significa “ver a sonda com um telescópio”. Ver depende da luz (ou radiação) emitida ou refletida pela sonda alcançar as sentinelas em Hoth antes da sonda chegar. Portanto devemos comparar dois tempos medidos em Hoth para um dado ponto inicial da sonda a uma distância D de Hoth no instante do lançamento:
  • Tempo que a sonda leva para chegar a Hoth: t_{\text{sonda}} = \frac{D}{u}.
  • Tempo que a luz emitida naquele mesmo instante leva para chegar a Hoth: t_{\text{luz}} = \frac{D}{c}.
Se t_{\text{luz}} < t_{\text{sonda}}, os observadores verão a sonda antes do pouso. Se t_{\text{sonda}} < t_{\text{luz}}, a sonda chega antes que a luz que anunciaria sua chegada, então não a verão antes do pouso.

Passo 6

Compare os dois tempos dividindo um pelo outro (observe que D cancela, então a conclusão não depende da distância inicial):
\frac{t_{\text{sonda}}}{t_{\text{luz}}} = \frac{D/u}{D/c} = \frac{c}{u}.
Substituindo os valores numéricos:
\frac{t_{\text{sonda}}}{t_{\text{luz}}} = \frac{3,0\times10^{8}}{4,4\times10^{8}} \approx 0,6818\ldots
Como esse quociente é menor que 1, segue que
t_{\text{sonda}} < t_{\text{luz}}.
Portanto a sonda chegaria a Hoth antes que a luz (emitida na hora do lançamento) alcançasse os observadores.

Passo 7

Para ficar bem concreto, um exemplo numérico rápido (só para intuir): escolha D = 3,0\times10^{8}\\ \mathrm{m} (distância igual ao número que aparece em c). Então
t_{\text{sonda}} = \frac{3,0\times10^{8}}{4,4\times10^{8}}\\ \mathrm{s}\approx 0,68\\ \mathrm{s},
t_{\text{luz}} = \frac{3,0\times10^{8}}{3,0\times10^{8}}\\ \mathrm{s}=1,0\\ \mathrm{s}.
Ou seja, a sonda bate em Hoth cerca de 0,32\\ \mathrm{s} antes de a luz do lançamento chegar aos sentinelas — eles só veriam a sonda depois do pouso.

Passo 8

Conclusão física curta (e um incentivo): sob a hipótese aceitásemos a adição galileana mesmo para altas velocidades, a sonda teria velocidade \,4,4\times10^{8}\\ \mathrm{m/s}\, e, como isso excede c, ela alcançaria Hoth antes da luz informando os observadores — logo, não veriam a sonda antes do pouso. Esse tipo de paradoxo é justamente o motivo pelo qual a mecânica clássica falha em altas velocidades e a teoria da relatividade especial trata corretamente a adição de velocidades (onde nada ultrapassa c). Você está indo bem — perguntas como esta mostram por que a relatividade é necessária.

Resposta

(a) 4,4\times10^{8}\\ \mathrm{m/s}
(b) Não. A sonda chegaria antes da luz que anunciaria sua presença, então os observadores veriam a sonda somente depois do pouso.

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