Dois eventos ocorrem no mesmo ponto
para tempos
e
no referencial
, que se desloca na direção
com velocidade
em relação ao referencial
.
(a) Qual a separação espacial dos eventos no referencial
?
(b) Qual a separação temporal dos eventos no referencial
?
(a) Qual a separação espacial dos eventos no referencial
(b) Qual a separação temporal dos eventos no referencial
Passo 1
O enunciado dá dois eventos que ocorrem no mesmo ponto do referencial
, ou seja em
, em instantes diferentes
e
. O referencial
se desloca com velocidade
na direção
em relação ao referencial
.\n
Perguntas explícitas:\n
(a) Qual é a separação espacial dos eventos no referencial ?\n
(b) Qual é a separação temporal dos eventos no referencial ?\n
Informações relevantes que temos: \n
Perguntas explícitas:\n
(a) Qual é a separação espacial dos eventos no referencial
(b) Qual é a separação temporal dos eventos no referencial
Informações relevantes que temos: \n
- Coordenadas em
dos dois eventos: e .\n - A velocidade relativa entre
e é (no sentido ).\n - Precisamos encontrar
e no referencial , onde e .\n
Passo 2
Para relacionar coordenadas entre
e
usamos as transformações de Lorentz. Vou escrever a forma que transforma coordenadas de
para
(a inversa da transformação padrão), apropriada quando
se move em
com velocidade
em relação a
.\n
A constante de Lorentz é
A constante de Lorentz é
Aqui
depende de
e de
(a velocidade da luz).\n
As transformações de são:
As transformações de
Explico o que cada símbolo significa:
são as coordenadas do evento em
;
são as coordenadas do mesmo evento em
;
é a velocidade de
em relação a
;
é a velocidade da luz;
é o fator acima.
Passo 3
Agora aplico essas fórmulas aos dois eventos. Para o evento 1 (em
):
Para o evento 2 (em
):
Passo 4
Calculo agora as diferenças
e
subtraindo as coordenadas dos dois eventos.\n
Para :
Para
Definindo
, obtemos
Passo 5
Para
:
Ou seja
Passo 6
Pequena interpretação física (útil para a prova): como os dois eventos ocorrem no mesmo ponto em
(
), o intervalo temporal
medido em
é o tempo próprio entre os eventos (é o tempo medido no referencial onde os eventos ocorrem no mesmo lugar). A relação
é a famosa dilatação do tempo: o intervalo de tempo medido em
é maior por um fator
. A separação espacial em
pode também ser escrita como
pois substituindo
na expressão
obtemos
; isto confirma a intuição: no referencial
o ponto
(o ponto em
) desloca-se com velocidade
durante o intervalo
, gerando a separação espacial entre os eventos em
.\n
Dica de prova: quando os eventos ocorrem no mesmo lugar em um referencial, sempre espere dilatação de tempo entre esse referencial e outro; use as transformações de Lorentz direta e inversa conforme a situação.
Dica de prova: quando os eventos ocorrem no mesmo lugar em um referencial, sempre espere dilatação de tempo entre esse referencial e outro; use as transformações de Lorentz direta e inversa conforme a situação.