Dois eventos ocorrem no mesmo ponto x^{\prime}{ }_{0} para tempos t^{\prime}{ }_{1} e t^{\prime}{ }_{2} no referencial S^{\prime}, que se desloca na direção +x com velocidade v em relação ao referencial S.
(a) Qual a separação espacial dos eventos no referencial S ?
(b) Qual a separação temporal dos eventos no referencial S ?

Passo 1

O enunciado dá dois eventos que ocorrem no mesmo ponto do referencial S', ou seja em x'_0, em instantes diferentes t'_1 e t'_2. O referencial S' se desloca com velocidade v na direção +x em relação ao referencial S.\n
Perguntas explícitas:\n
(a) Qual é a separação espacial dos eventos no referencial S?\n
(b) Qual é a separação temporal dos eventos no referencial S?\n
Informações relevantes que temos: \n
  • Coordenadas em S' dos dois eventos: (x'_0,t'_1) e (x'_0,t'_2).\n
  • A velocidade relativa entre S e S' é v (no sentido +x).\n
  • Precisamos encontrar \Delta x e \Delta t no referencial S, onde \Delta x = x_2 - x_1 e \Delta t = t_2 - t_1.\n

Passo 2

Para relacionar coordenadas entre S' e S usamos as transformações de Lorentz. Vou escrever a forma que transforma coordenadas de S' para S (a inversa da transformação padrão), apropriada quando S' se move em +x com velocidade v em relação a S.\n
A constante de Lorentz é
\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\dfrac{v^{2}}{c^{2}}}}.
Aqui \gamma depende de v e de c (a velocidade da luz).\n
As transformações de S'\to S são:
x=\gamma\bigl(x'+v t'\bigr)
t=\gamma\Bigl(t'+\dfrac{v x'}{c^{2}}\Bigr).
Explico o que cada símbolo significa: x',t' são as coordenadas do evento em S'; x,t são as coordenadas do mesmo evento em S; v é a velocidade de S' em relação a S; c é a velocidade da luz; \gamma é o fator acima.

Passo 3

Agora aplico essas fórmulas aos dois eventos. Para o evento 1 (em t'_1):
x_1=\gamma\bigl(x'_0+v t'_1\bigr)
t_1=\gamma\Bigl(t'_1+\dfrac{v x'_0}{c^{2}}\Bigr).
Para o evento 2 (em t'_2):
x_2=\gamma\bigl(x'_0+v t'_2\bigr)
t_2=\gamma\Bigl(t'_2+\dfrac{v x'_0}{c^{2}}\Bigr).

Passo 4

Calculo agora as diferenças \Delta x e \Delta t subtraindo as coordenadas dos dois eventos.\n
Para \Delta x:
\Delta x = x_2-x_1 = \gamma\bigl(x'_0+v t'_2\bigr)-\gamma\bigl(x'_0+v t'_1\bigr) = \gamma\bigl[v(t'_2-t'_1)\bigr].
Definindo \Delta t'=t'_2-t'_1, obtemos
\Delta x = \gamma\,v\,\Delta t'.

Passo 5

Para \Delta t:
\Delta t = t_2-t_1 = \gamma\Bigl(t'_2+\dfrac{v x'_0}{c^{2}}\Bigr)-\gamma\Bigl(t'_1+\dfrac{v x'_0}{c^{2}}\Bigr) = \gamma\,(t'_2-t'_1).
Ou seja
\Delta t = \gamma\,\Delta t'.

Passo 6

Pequena interpretação física (útil para a prova): como os dois eventos ocorrem no mesmo ponto em S' ( \Delta x'=0), o intervalo temporal \Delta t' medido em S' é o tempo próprio entre os eventos (é o tempo medido no referencial onde os eventos ocorrem no mesmo lugar). A relação \Delta t=\gamma\Delta t' é a famosa dilatação do tempo: o intervalo de tempo medido em S é maior por um fator \gamma. A separação espacial em S pode também ser escrita como
\Delta x = v\,\Delta t,
pois substituindo \Delta t=\gamma\Delta t' na expressão \Delta x=\gamma v\Delta t' obtemos \Delta x=v\Delta t; isto confirma a intuição: no referencial S o ponto x'_0 (o ponto em S') desloca-se com velocidade v durante o intervalo \Delta t, gerando a separação espacial entre os eventos em S.\n
Dica de prova: quando os eventos ocorrem no mesmo lugar em um referencial, sempre espere dilatação de tempo entre esse referencial e outro; use as transformações de Lorentz direta e inversa conforme a situação.

Resposta

\Delta x=\gamma\,v\,(t'_2-t'_1)\n
\Delta t=\gamma\,(t'_2-t'_1)

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