*14.32. Uma barra tem 8 pés de comprimento e diâmetro de 0,5 pol. Supondo que seja usada para absorver a energia sob tração de uma carga de impacto, determinar a quantidade total de energia elástica que ela pode absorver se for feita de latão C83400.

Passo 1

O enunciado pede para determinar a quantidade total de energia elástica que a barra pode absorver quando submetida a tração por uma carga de impacto. Dados fornecidos:
\begin{aligned} &\text{Comprimento da barra: } L = 8\\ \text{pés} \\\ &\text{Diâmetro da barra: } d = 0{,}5\\ \text{pol.} \\\ &\text{Material: latão C83400}
O objetivo é calcular a energia elástica máxima armazenável na barra antes de atingir o limite elástico (ou seja, até a tensão de escoamento).

Passo 2

Conceitos básicos e ideia do método (passo a passo didático, como você pediu):
  • Stress (tensão) \sigma é força por unidade de área; tem unidade \text{psi} (lbf/in ^2) no sistema imperial.
  • Strain (deformação) \varepsilon é variação relativa de comprimento (adimensional).
  • Módulo de Young E relaciona tensão e deformação pela lei de Hooke na região elástica:
\sigma = E\,\varepsilon.
  • A energia elástica por volume (energia armazenada por unidade de volume) para um material linear-elástico até a tensão de escoamento \sigma_y é a área sob a curva \sigma vs \varepsilon até \sigma_y. Como a relação é linear,
\text{energia por volume} = \frac{1}{2}\sigma_y\varepsilon_y.
  • Substituindo \varepsilon_y=\sigma_y/E obtemos:
\text{energia por volume} = \frac{\sigma_y^2}{2E}.
  • A energia total elástica absorvida pela barra é essa energia por volume multiplicada pelo volume V da barra:
U = \frac{\sigma_y^2}{2E}\,V.
Vou usar essa fórmula porque dá diretamente a energia elástica armazenada até o limite elástico sem precisar integrar forças e deslocamentos passo-a-passo — é a forma direta derivada da definição de energia elástica para materiais lineares.

Passo 3

Escrever a fórmula final que vamos calcular e explicar cada termo:
U = \frac{\sigma_y^2}{2E}\,V
onde
\begin{aligned} &U \text{ é a energia elástica total absorvida (unidade: lbf·in ou convertida)};\\\ &\sigma_y \text{ é a tensão de escoamento (yield) do material (psi)};\\\ &E \text{ é o módulo de Young do material (psi)};\\\ &V \text{ é o volume da barra (in}^3\text{)}. \end{aligned}éáéãéóé

Passo 4

Calcular as dimensões geométricas e o volume (mostrando os passos):
  • Converter comprimento para polegadas:
L = 8\\ \text{pés} = 8\cdot12 = 96\\ \text{in}.é
  • Área da seção transversal (área de um círculo):
A = \frac{\pi d^2}{4} = \frac{\pi (0{,}5)^2}{4} = \pi\cdot0{,}0625 = 0{,}1963495\\ \text{in}^2 \approx 0{,}19635\\ \text{in}^2.
(obs.: \pi\cdot0{,}0625 = 6\pi/96 = número exato \;0{,}1963495408\ldots)
  • Volume da barra:
V = A L = 0{,}1963495\cdot96 = 18{,}849555\\ \text{in}^3 \approx 18{,}85\\ \text{in}^3.

Passo 5

Escolher valores de propriedades do latão C83400 (explicação didática):
  • Esses valores normalmente vêm de tabelas de materiais. Para o latão C83400 é comum usar valores típicos de tabela. Vou usar valores representativos típicos de manuais de materiais:
E = 1{,}5\times10^{7}\\ \text{psi} \quad\text{(módulo de Young)}ó
\sigma_y = 4{,}2\times10^{4}\\ \text{psi} \quad\text{(tensão de escoamento)}ã
Se no seu enunciado ou livro houver valores diferentes para E ou \sigma_y, basta substituir esses números na fórmula do Passo 3 e recalcular; o procedimento é idêntico.

Passo 6

Calcular a energia usando a fórmula:
  • Primeiro calcule o fator \dfrac{\sigma_y^2}{2E}:
\frac{\sigma_y^2}{2E}=\frac{(4{,}2\times10^{4})^2}{2\cdot1{,}5\times10^{7}} =\frac{1{,}764\times10^{9}}{3{,}0\times10^{7}}=58{,}8\\ \text{(lbf/in}^2\text{)}.
(A unidade resultante multiplicada por volume dá lbf·in — veja abaixo.)
  • Agora multiplique pelo volume V:
U = 58{,}8 \cdot 18{,}849555 = 1108{,}7\\ \text{lbf·in} \quad\text{(aprox.)}.

Passo 7

Converter para unidades mais usuais e interpretar:
  • Converter lbf·in para ft·lbf (dividindo por 12):
U = \frac{1108{,}7}{12} = 92{,}39\\ \text{ft·lbf} \approx 92{,}4\\ \text{ft·lbf}.
  • Converter para joules (1 ft·lbf \approx 1{,}35582 J):
U \approx 92{,}39\cdot1{,}35582 = 125{,}3\\ \text{J} \approx 125\\ \text{J}.
Interpretação rápida: usando os valores típicos escolhidos, a barra absorve elasticamente cerca de 92{,}4 ft·lbf (ou 125 J) antes de escoar. Se a carga de impacto for maior que isso, a barra entrará na região plástica e poderá absorver energia adicional por deformação plástica (não coberta aqui).

Resposta

U \approx 92{,}4\\ \text{ft·lbf}
U \approx 125\\ \text{J}

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