A coluna de aço estrutural A-36 construída com perfil W10 \times 30 está presa por pino no topo e na parte inferior. Supondo que esteja submetida à carga excêntrica de 85 kip , determinar o fator de segurança em relação ao escoamento.

Passo 1

O enunciado (resumido) nos dá:
  • Perfil: W10\times 30 em aço A-36.
  • Apoios: pino no topo e pino na base (coluna biapoiada).
  • Carga excêntrica: \,85\\ \text{kip} (magnitude da força fornecida).
O que é pedido:
  • Determinar o fator de segurança (FS) em relação ao escoamento (isto é, comparar a tensão máxima solicitante com a tensão de escoamento do A-36, \sigma_y=36\\ \text{ksi}).
Informação faltante e importância:
  • O enunciado não informa a excentricidade e da carga (distância entre a linha de ação da carga e o centróide da seção). Essa excentricidade é essencial porque dita o momento fletor M=P\cdot e que, combinado com a força axial, determina a tensão máxima pela fórmula da combinação eixo + flexão. Sem e não se pode obter um único valor numérico para o fator de segurança.
  • Portanto, não é possível dar um único valor numérico de FS sem saber e. Abaixo eu mostro como resolver passo a passo e forneço a expressão final do FS em função de e, além de exemplos numéricos para alguns valores de e.

Passo 2

Estratégia geral (como eu faria na prova):
  • A tensão máxima na fibra comprimida, para uma força axial excêntrica que provoca flexão numa direção principal, é dada pela superposição:
\sigma_{\max}=\frac{P}{A}+\frac{M}{S}
onde:
  • \,P é a carga axial (em kips),
  • \,A é a área da seção transversal (em \text{in}^2),
  • \,M é o momento fletor na seção (em kip·in),
  • \,S é o módulo resistente da seção na direção considerada (em \text{in}^3).
  • O momento devido à excentricidade é \,M=P\cdot e, com e em polegadas.
  • O fator de segurança em relação ao escoamento é
\text{FS}=\frac{\sigma_y}{\sigma_{\max}}.
  • Vou usar unidades consistentes: P em kips, A em \text{in}^2, S em \text{in}^3. Assim as tensões ficam em ksi (kips / in^2 = ksi).

Passo 3

Propriedades do perfil W10\times 30 (valores tabulados):
  • Obs.: peguei estes valores em tabela AISC para o perfil W10\times 30:
    • Área: \,A=8{,}84\\ \text{in}^2.
    • Módulo resistente na direção forte: \,S_x=17{,}0\\ \text{in}^3.
  • Tensão de escoamento do A-36: \,\sigma_y=36\\ \text{ksi}.
  • Carga dada: \,P=85\\ \text{kip}.

Passo 4

Cálculo da tensão axial (componente de compressão uniforme):
\frac{P}{A}=\frac{85}{8{,}84}\\ \text{ksi}.
Faço a divisão (sem pular etapas):
\frac{85}{8{,}84}=9{,}616\\ \text{ksi}\quad(\text{aprox.}).

Passo 5

Cálculo do termo de flexão (em função de e):
  • Momento fletor: \,M=P\cdot e=85\cdot e (unidade: kip·in, com e em in).
  • Termo de tensão por flexão: \dfrac{M}{S_x}=\dfrac{85\,e}{17{,}0}\\ \text{ksi}.
  • Simplificando o coeficiente numérico:
\dfrac{85}{17{,}0}=5,
logo
\frac{M}{S_x}=5\,e\\ \text{ksi} \quad(\text{com } e \text{ em in}).

Passo 6

Combinação eixo + flexão — tensão máxima:
\sigma_{\max}=\frac{P}{A}+\frac{M}{S_x}=9{,}616 + 5\,e\quad(\text{ksi}).
Obs.: aqui \,e em polegadas; a unidade resultante é \text{ksi}.

Passo 7

Fator de segurança em função de e:
\text{FS}(e)=\frac{\sigma_y}{\sigma_{\max}}=\frac{36}{9{,}616+5\,e}.
Isto é a expressão que responde “qual o FS?” para qualquer excentricidade dada.

Passo 8

Exemplos numéricos (pra dar uma intuição — útil na prova para checar escalas):
  • Se e=0 (carga perfeitamente centrada):
\text{FS}=\frac{36}{9{,}616}=3{,}744\quad(\text{aprox.}).
  • Se e=1\\ \text{in}:
\text{FS}=\frac{36}{9{,}616+5\cdot 1}=\frac{36}{14{,}616}=2{,}463\quad(\text{aprox.}).
  • Se e=2\\ \text{in}:
\text{FS}=\frac{36}{9{,}616+10}=\frac{36}{19{,}616}=1{,}836\quad(\text{aprox.}).
  • Se e=3\\ \text{in}:
\text{FS}\approx 1{,}462.
  • Se e=5\\ \text{in}:
\text{FS}\approx 1{,}040.

Passo 9

Valor da excentricidade que faz a tensão atingir o escoamento ( \text{FS}=1):
  • Resolver 9{,}616 + 5\,e = 36:
5\,e = 36-9{,}616 = 26{,}384
e = \frac{26{,}384}{5} = 5{,}2768\\ \text{in} \quad(\text{aprox. }5{,}28\\ \text{in}).
Portanto, para e \gtrsim 5{,}28\\ \text{in} a peça atingiria o escoamento.

Resposta

Não é possível dar um único valor numérico para o fator de segurança porque a excentricidade e não foi informada.
Expressão do fator de segurança em função de e (com e em polegadas):
\text{FS}(e)=\frac{36}{9{,}616+5\,e}.
Exemplos:
e=0\\ \text{in}\Rightarrow \text{FS}\approx 3{,}744.
e=1\\ \text{in}\Rightarrow \text{FS}\approx 2{,}463.
e=2\\ \text{in}\Rightarrow \text{FS}\approx 1{,}836.
Valor de e que provoca escoamento ( \text{FS}=1): e\approx 5{,}28\\ \text{in}.

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