Dê dois exemplos de sequências divergentes diferentes daquelas que constam no exercício 20.

Passo 1

O enunciado pede que eu dê dois exemplos de sequências divergentes, distintos daqueles que aparecem no exercício 20. Ou seja:
  • Objetivo: apresentar duas sequências que NÃO convergem (cada uma por um tipo de divergência diferente), e justificar por que elas divergem.
  • Informação dada: não há outras restrições explícitas (posso escolher quaisquer sequências).

Passo 2

Antes de mostrar os exemplos, vamos fixar o significado exato de “sequência convergente” e de “sequência divergente” — isso é importante para provar rigorosamente que cada exemplo realmente diverge.
  • Definição de convergência (intuitiva): uma sequência (x_n) converge para um número \ell se os termos x_n ficam arbitrariamente próximos de \ell quando n é grande.
  • Definição formal de convergência: (x_n) converge para \ell se, para todo \varepsilon>0, existe N\in\mathbb{N} tal que
|x_n-\ell|<\varepsilon\qquad\text{para todo } n\ge N.
  • Consequência lógica importante: se uma sequência fosse convergente, TODAS as suas subsequências também convergiriam para o mesmo limite \ell.
  • Definição de divergência para limites finitos: (x_n) é divergente (no sentido de não ter limite finito) se NÃO existe \ell\in\mathbb{R} que satisfaz a definição acima. Uma forma prática de provar divergência é encontrar duas subsequências que convergem para limites distintos (então a sequência inteira não pode ter um único limite).
  • Definição de divergência para divergência ao infinito: dizemos que (x_n) diverge para +\infty se, para todo M>0, existe N tal que
x_n>M\qquad\text{para todo } n\ge N.
Isto significa que os termos ficam arbitrariamente grandes.
Agora que as definições estão claras, uso-as para provar os dois exemplos.

Passo 3

Exemplo 1: escolho a sequência
a_n = n.
Intuição: os termos são 1,2,3,4,\dots — ficam cada vez maiores, então não se aproximam de nenhum número real finito; divergem para +\infty.
Prova rigorosa de que (a_n) diverge para +\infty:
  • Seja M>0 arbitrário. Queremos mostrar que existe N tal que a_n>M para todo n\ge N.
  • Basta escolher N=\lfloor M\rfloor+1. Então, para todo n\ge N temos n\ge N>\lfloor M\rfloor\ge M-1, portanto n\ge N implica n>M. Mais direto: como n cresce sem limite, existe N com N>M, e para todo n\ge N temos n\ge N>M.
  • Assim, para todo M>0 encontramos N que garante a_n>M para todo n\ge N. Isso é exatamente a definição de divergência para +\infty.
    Conclusão: (a_n) diverge (especificamente, diverge para +\infty).
Comentário prático: esta é a forma mais simples de divergência — sequência unbounded que cresce sem parar. Na prova, se aparecer algo como a_n=n ou a_n=n^2, já fica óbvio mostrar divergência usando a mesma ideia.

Passo 4

Exemplo 2: escolho a sequência
b_n = (-1)^n.
Intuição: os termos são -1,1,-1,1,\dots — ela oscila entre dois valores e não se aproxima de um único número. Este é um tipo de divergência clássico: divergência por oscilação.
Prova rigorosa de que (b_n) não converge (i.e., é divergente):
  • Suponha, por contradição, que (b_n) converge para algum limite \ell\in\mathbb{R}.
  • Considere as duas subsequências formadas por índices pares e ímpares:
    • subsequência dos pares: b_{2k}=(-1)^{2k}=1 para todo k.
    • subsequência dos ímpares: b_{2k+1}=(-1)^{2k+1}=-1 para todo k.
  • Como toda subsequência de uma sequência convergente deve convergir para o mesmo limite \ell, teríamos 1=\lim_{k\to\infty} b_{2k}=\ell e também -1=\lim_{k\to\infty} b_{2k+1}=\ell.
  • Isso implica 1=\ell=-1, o que é impossível.
  • Logo a suposição de convergência é falsa; portanto (b_n) não converge, ou seja, é divergente.
Comentário prático: provar divergência mostrando duas subsequências com limites distintos é uma técnica muito usada (e simples). Em provas, quando perceber uma sequência que alterna valores, vale checar subsequências pares/ímpares.

Passo 5

Outras observações rápidas (úteis na prova):
  • Tipos comuns de divergência que é bom decorar:
    1. Divergência para infinito (ex.: n,\; n^2,\; \ln(n) — estes tendem a +\infty ou -\infty). Método de prova: usar a definição com M.
    2. Divergência por oscilação (ex.: (-1)^n,\; \sin(n\pi/2), sequências que têm subsequências com diferentes limites). Método de prova: mostrar subsequências com limites diferentes.
  • Se precisar de exemplos diferentes: posso te dar sequências que divergem mas de forma menos trivial (por exemplo \,c_n = n(-1)^n que é oscilante e também não limitada), é só pedir.

Resposta

\;a_n = n (diverge para +\infty).
\;b_n = (-1)^n (diverge por oscilar entre -1 e 1).

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