Dê dois exemplos de sequências divergentes diferentes daquelas que constam no exercício 20.
Passo 1
O enunciado pede que eu dê dois exemplos de sequências divergentes, distintos daqueles que aparecem no exercício 20. Ou seja:
- Objetivo: apresentar duas sequências que NÃO convergem (cada uma por um tipo de divergência diferente), e justificar por que elas divergem.
- Informação dada: não há outras restrições explícitas (posso escolher quaisquer sequências).
Passo 2
Antes de mostrar os exemplos, vamos fixar o significado exato de “sequência convergente” e de “sequência divergente” — isso é importante para provar rigorosamente que cada exemplo realmente diverge.
- Definição de convergência (intuitiva): uma sequência
converge para um número se os termos ficam arbitrariamente próximos de quando é grande. - Definição formal de convergência:
converge para se, para todo , existe tal que
-
Consequência lógica importante: se uma sequência fosse convergente, TODAS as suas subsequências também convergiriam para o mesmo limite
. -
Definição de divergência para limites finitos:
é divergente (no sentido de não ter limite finito) se NÃO existe que satisfaz a definição acima. Uma forma prática de provar divergência é encontrar duas subsequências que convergem para limites distintos (então a sequência inteira não pode ter um único limite). -
Definição de divergência para divergência ao infinito: dizemos que
diverge para se, para todo , existe tal que
Isto significa que os termos ficam arbitrariamente grandes.
Agora que as definições estão claras, uso-as para provar os dois exemplos.
Passo 3
Exemplo 1: escolho a sequência
Intuição: os termos são
— ficam cada vez maiores, então não se aproximam de nenhum número real finito; divergem para
.
Prova rigorosa de que
diverge para
:
- Seja
arbitrário. Queremos mostrar que existe tal que para todo . - Basta escolher
. Então, para todo temos , portanto implica . Mais direto: como cresce sem limite, existe com , e para todo temos . - Assim, para todo
encontramos que garante para todo . Isso é exatamente a definição de divergência para .
Conclusão:diverge (especificamente, diverge para ).
Comentário prático: esta é a forma mais simples de divergência — sequência unbounded que cresce sem parar. Na prova, se aparecer algo como
ou
, já fica óbvio mostrar divergência usando a mesma ideia.
Passo 4
Exemplo 2: escolho a sequência
Intuição: os termos são
— ela oscila entre dois valores e não se aproxima de um único número. Este é um tipo de divergência clássico: divergência por oscilação.
Prova rigorosa de que
não converge (i.e., é divergente):
- Suponha, por contradição, que
converge para algum limite . - Considere as duas subsequências formadas por índices pares e ímpares:
- subsequência dos pares:
para todo . - subsequência dos ímpares:
para todo .
- subsequência dos pares:
- Como toda subsequência de uma sequência convergente deve convergir para o mesmo limite
, teríamos e também . - Isso implica
, o que é impossível. - Logo a suposição de convergência é falsa; portanto
não converge, ou seja, é divergente.
Comentário prático: provar divergência mostrando duas subsequências com limites distintos é uma técnica muito usada (e simples). Em provas, quando perceber uma sequência que alterna valores, vale checar subsequências pares/ímpares.
Passo 5
Outras observações rápidas (úteis na prova):
- Tipos comuns de divergência que é bom decorar:
- Divergência para infinito (ex.:
— estes tendem a ou ). Método de prova: usar a definição com . - Divergência por oscilação (ex.:
, sequências que têm subsequências com diferentes limites). Método de prova: mostrar subsequências com limites diferentes.
- Divergência para infinito (ex.:
- Se precisar de exemplos diferentes: posso te dar sequências que divergem mas de forma menos trivial (por exemplo
que é oscilante e também não limitada), é só pedir.