Dê dois exemplos de sequências convergentes diferentes daquelas que constam no exercício 20 .

Passo 1

O que o enunciado pede: “Dê dois exemplos de sequências convergentes diferentes daquelas que constam no exercício 20.”
O que eu tenho disponível: apenas essa frase; não recebi o texto do exercício 20 nem a lista das sequências que lá aparecem.
Consequência prática: não há como garantir, com certeza, que as sequências que eu for propor sejam diferentes daquelas do exercício 20, porque não sei quais são essas. Mesmo assim, vou escolher e apresentar duas sequências simples, claramente convergentes, e mostrar passo a passo por que elas convergem. Aviso: se por acaso alguma delas coincidir com as do exercício 20, não poderei evitar isso sem ver o exercício 20.

Passo 2

Conceito que vamos usar (a definição formal de convergência, explicada de maneira bem didática).
Uma sequência (x_n)_{n\ge1} converge para L se, e somente se, valem as seguintes palavras traduzidas para matemática: "para todo \epsilon>0 existe um índice N tal que, para todo n\ge N, a distância entre x_n e L é menor que \epsilon". Em símbolos:
\text{Para todo }\epsilon>0\;\exists N\in\mathbb{N}\\ \text{tal que}\\ \forall n\ge N:\\ |x_n-L|<\epsilon.
O que cada símbolo significa:
  • \epsilon>0: qualquer tolerância pequena que o avaliador escolher (por exemplo 0,1, 0,01, etc.).
  • N: um índice a partir do qual todos os termos da sequência ficam dentro da tolerância \epsilon do limite L.
  • |x_n-L|: a distância entre o n-ésimo termo e o número L.
Esta definição é o que vamos usar para provar convergência passo a passo (é o jeito que se espera na prova).

Passo 3

Escolha das duas sequências (simples, padrão, fáceis de justificar e de usar na prova):
  1. \displaystyle x_n=\frac{1}{n}. Vou mostrar que x_n\to 0.
  2. \displaystyle y_n=1-\frac{1}{n}. Vou mostrar que y_n\to 1.
Escolhi essas porque são muito didáticas: uma converge para 0 e a outra converge para 1. Agora vamos provar cada convergência usando a definição \epsilon- N.

Passo 4

Prova de convergência da primeira sequência \displaystyle x_n=\frac{1}{n} para 0.
Queremos: para todo \epsilon>0 existe N tal que, para todo n\ge N, \left|\dfrac{1}{n}-0\right|<\epsilon.
Observe que \left|\dfrac{1}{n}-0\right|=\dfrac{1}{n}. Então precisamos garantir \dfrac{1}{n}<\epsilon.
Resolvendo \dfrac{1}{n}<\epsilon para n n>\dfrac{1}{\epsilon}. Assim uma escolha conveniente é
N=\left\lceil \frac{1}{\epsilon}\right\rceil,
onde \lceil\cdot\rceil é a função teto (ou seja, o menor inteiro \ge ao número). Com essa escolha, para todo n\ge N vale n\ge \frac{1}{\epsilon} e portanto \dfrac{1}{n}\le \dfrac{1}{N}\le \epsilon. (Se preferir evitar a notação teto, pode escolher qualquer inteiro N com N>\dfrac{1}{\epsilon}.)
Conclusão: pela definição \epsilon- N, \displaystyle \frac{1}{n}\to 0.
Comentário prático (como usar na prova): na maioria das provas de análise, esse argumento é o padrão para mostrar que 1/n tende a 0: escolher N>\!1/\epsilon e aplicar a desigualdade direta.

Passo 5

Prova de convergência da segunda sequência \displaystyle y_n=1-\frac{1}{n} para 1.
Queremos: para todo \epsilon>0 existe N tal que, para todo n\ge N, \left|1-\frac{1}{n}-1\right|<\epsilon.
Calcule o valor absoluto:
\left|1-\frac{1}{n}-1\right|=\left|-\frac{1}{n}\right|=\frac{1}{n}.
Portanto, chegamos à mesma condição \dfrac{1}{n}<\epsilon. Como no passo anterior, basta escolher
N=\left\lceil \frac{1}{\epsilon}\right\rceil,
pois para todo n\ge N teremos \dfrac{1}{n}\le \epsilon.
Conclusão: pela definição \epsilon- N, \displaystyle 1-\frac{1}{n}\to 1.
Comentário prático: muitas sequências do tipo “constante menos algo que vai a zero” convergem para essa constante; aqui o “algo” é 1/n que já vimos que vai a zero.

Passo 6

Observações úteis e truques que ajudam na prova (para a prova na hora da avaliação):
  • Regra de ouro: se \;a_n\to a e \;b_n\to b, então \;a_n+b_n\to a+b, \;a_n b_n\to ab e, se b\ne 0, \;a_n/b_n\to a/b. Essas regras permitem transformar provas mais complicadas em combinações de limites simples. No nosso caso, 1-\dfrac{1}{n} é a soma de 1 (constante) e -\dfrac{1}{n} (que vai a 0), logo o limite é 1+0=1.
  • Para escolher N explicitamente, usar N=\left\lceil 1/\epsilon\right\rceil é uma receita pronta. Em provas curtas, às vezes basta escrever "seja N tal que N>1/\epsilon" e continuar, sem calcular o teto.
  • Intuição geométrica: \dfrac{1}{n} é uma sequência que “encolhe” para zero; 1-\dfrac{1}{n} aproxima-se de 1 vindo da esquerda.

Passo 7

Resumo (pronto para usar na prova): apresentei duas sequências com provas formais \epsilon- N de convergência. Reforço o aviso inicial: não posso garantir que estas duas sejam diferentes daquelas do exercício 20 porque o conteúdo do exercício 20 não foi fornecido. Se quiser, posso substituir por outras duas (por exemplo \dfrac{n}{n+1} que vai para 1, ou \dfrac{(-1)^n}{n} que vai para 0, ou 2+\dfrac{1}{n} que vai para 2) — mas não vou perguntar qual das opções prefere; apenas ofereço alternativas se pedir.

Resposta

\displaystyle x_n=\frac{1}{n}\to 0
\displaystyle y_n=1-\frac{1}{n}\to 1

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