Dê dois exemplos de sequências divergentes diferentes daquelas que constam no exercício 20.
Passo 1
O que o enunciado pede: dar dois exemplos de sequências divergentes que sejam diferentes daquelas que aparecem no exercício 20.
Informações disponíveis: não foram dadas restrições adicionais (por exemplo, tipo de divergência exigida, domínio, monotonicidade, etc.). Portanto posso escolher quaisquer duas sequências claras e simples que sejam divergentes e distintas entre si.
Informações disponíveis: não foram dadas restrições adicionais (por exemplo, tipo de divergência exigida, domínio, monotonicidade, etc.). Portanto posso escolher quaisquer duas sequências claras e simples que sejam divergentes e distintas entre si.
Passo 2
O que significa “sequência divergente” — explicação didática e definição:
- Uma sequência
converge para um limite se, e somente se, para todo existe tal que, para todo , . Escrevemos isso como . - Uma sequência é dita divergente quando ela NÃO converge para nenhum número real
. Há dois modos comuns de divergência: - Divergir por oscilar entre valores diferentes (não existe limite finito porque subsequências apresentam limites distintos).
- Divergir para infinito (isto é, crescer sem limite; escrevemos
ou ).
- Em provas, para mostrar que uma sequência diverge geralmente usa-se uma das estratégias:
- Exhibir duas subsequências com limites distintos (contradição com unicidade do limite).
- Mostrar que para todo
existe tal que para todo (divergência para ), ou análogo para .
Passo 3
Primeiro exemplo (divergência por oscilação): considere a sequência
definida por
O que isso faz na prática:
toma os valores
.
Prova de que
é divergente (passo a passo):
- Considere as subsequências dos índices pares e ímpares:
- Para
(pares), . Assim a subsequência é constantemente e tem limite . - Para
(ímpares), . Assim a subsequência é constantemente e tem limite .
- Para
- Se a sequência
tivesse limite , então todas as suas subsequências teriam o mesmo limite . Mas temos duas subsequências com limites diferentes ( e ), logo não existe tal . - Conclusão:
não converge — ou seja, é divergente.
Passo 4
Segundo exemplo (divergência para
): considere a sequência
definida por
Ou seja, os termos são
.
Prova de que
diverge para
(passo a passo usando a definição):
- Definição de divergência para
: dizemos quando, para todo , existe tal que, para todo , . - Dado
, escolha (o inteiro imediatamente maior que ). Então para todo temos - Assim, cumprimos a condição para todo
. Logo , ou em palavras: a sequência cresce sem limite e, portanto, é divergente.
Passo 5
Observações práticas e dicas para a prova (como reconhecer divergência rapidamente):
- Sequências que alternam entre dois valores ou mais valores finitos (como
, , etc.) costumam divergir por oscilação; uma prova rápida é encontrar subsequências com limites distintos. - Sequências cujo termo geral cresce em magnitude sem controle (como
, , , etc.) divergem para infinito; use a definição com e escolha adequado (por exemplo, ou usando desigualdades simples). - Se estiver em dúvida, tente extrair subsequências: se duas subsequências tiverem limites diferentes, já provou que não converge.