Dê dois exemplos de sequências divergentes diferentes daquelas que constam no exercício 20.

Passo 1

O que o enunciado pede: dar dois exemplos de sequências divergentes que sejam diferentes daquelas que aparecem no exercício 20.
Informações disponíveis: não foram dadas restrições adicionais (por exemplo, tipo de divergência exigida, domínio, monotonicidade, etc.). Portanto posso escolher quaisquer duas sequências claras e simples que sejam divergentes e distintas entre si.

Passo 2

O que significa “sequência divergente” — explicação didática e definição:
  • Uma sequência (a_n) converge para um limite L se, e somente se, para todo \epsilon>0 existe N\in\mathbb{N} tal que, para todo n\ge N, |a_n-L|<\epsilon. Escrevemos isso como \lim_{n\to\infty} a_n = L.
  • Uma sequência é dita divergente quando ela NÃO converge para nenhum número real L. Há dois modos comuns de divergência:
    1. Divergir por oscilar entre valores diferentes (não existe limite finito porque subsequências apresentam limites distintos).
    2. Divergir para infinito (isto é, crescer sem limite; escrevemos \lim_{n\to\infty} a_n = +\infty ou -\infty).
  • Em provas, para mostrar que uma sequência diverge geralmente usa-se uma das estratégias:
    • Exhibir duas subsequências com limites distintos (contradição com unicidade do limite).
    • Mostrar que para todo M>0 existe N tal que a_n>M para todo n\ge N (divergência para +\infty), ou análogo para -\infty.

Passo 3

Primeiro exemplo (divergência por oscilação): considere a sequência (a_n) definida por
a_n = (-1)^n.
O que isso faz na prática: (a_n) toma os valores -1, 1, -1, 1, \dots.
Prova de que (a_n) é divergente (passo a passo):
  • Considere as subsequências dos índices pares e ímpares:
    • Para n=2k (pares), a_{2k}=(-1)^{2k}=1. Assim a subsequência (a_{2k}) é constantemente 1 e tem limite 1.
    • Para n=2k+1 (ímpares), a_{2k+1}=(-1)^{2k+1}=-1. Assim a subsequência (a_{2k+1}) é constantemente -1 e tem limite -1.
  • Se a sequência (a_n) tivesse limite L, então todas as suas subsequências teriam o mesmo limite L. Mas temos duas subsequências com limites diferentes ( 1 e -1), logo não existe tal L.
  • Conclusão: (a_n) não converge — ou seja, é divergente.

Passo 4

Segundo exemplo (divergência para +\infty): considere a sequência (b_n) definida por
b_n = n.
Ou seja, os termos são 1,2,3,4,\dots.
Prova de que (b_n) diverge para +\infty (passo a passo usando a definição):
  • Definição de divergência para +\infty: dizemos \lim_{n\to\infty} b_n = +\infty quando, para todo M>0, existe N\in\mathbb{N} tal que, para todo n\ge N, b_n > M.
  • Dado M>0, escolha N = \lfloor M\rfloor + 1 (o inteiro imediatamente maior que M). Então para todo n\ge N temos b_n = n \ge N > M.
  • Assim, cumprimos a condição para todo M>0. Logo \lim_{n\to\infty} b_n = +\infty, ou em palavras: a sequência cresce sem limite e, portanto, é divergente.

Passo 5

Observações práticas e dicas para a prova (como reconhecer divergência rapidamente):
  • Sequências que alternam entre dois valores ou mais valores finitos (como (-1)^n, \sin(n\pi/2), etc.) costumam divergir por oscilação; uma prova rápida é encontrar subsequências com limites distintos.
  • Sequências cujo termo geral cresce em magnitude sem controle (como n, n^2, 2^n, etc.) divergem para infinito; use a definição com M e escolha N adequado (por exemplo, N=\lceil M\rceil ou usando desigualdades simples).
  • Se estiver em dúvida, tente extrair subsequências: se duas subsequências tiverem limites diferentes, já provou que não converge.

Resposta

a_n = (-1)^n
b_n = n

Exercícios relacionados