Dê dois exemplos de sequências não limitadas diferentes daquelas que constam nos exercícios 2 e 3 .
Passo 1
O enunciado pede: “Dê dois exemplos de sequências não limitadas diferentes daquelas que constam nos exercícios 2 e 3.”
Informações relevantes que temos agora:
Informações relevantes que temos agora:
- Preciso fornecer exatamente dois exemplos de sequências que sejam não limitadas (ou seja, unbounded).
- Os exemplos devem ser diferentes dos das questões 2 e 3 (como essas não foram fornecidas, vou escolher exemplos comuns porém distintos entre si).
- Para cada exemplo devo justificar didaticamente por que a sequência é não limitada, mostrando como provar isso de forma que possa ser usado numa prova.
Passo 2
Definição e ideia para provar que uma sequência é não limitada (explicação didática e sem pular etapas).
- Definição: uma sequência
é limitada se existe tal que para todo . - Contraponto: a sequência é não limitada (ou seja, ilimitada) se não existe tal
. Em linguagem de quantificadores: é não limitada se
- Estratégias práticas para provar que uma sequência é não limitada:
- Dado um
, construir explicitamente um índice (em função de ) com . Ex.: escolher ou . - Mostrar que existe uma subsequência que tende a
ou a ; se uma subsequência tem módulo arbitrariamente grande, a sequência inteira é não limitada. - Comparar com uma sequência já conhecida e não limitada (por exemplo
, , ) e usar que se e então é não limitada.
Explicarei essas ideias aplicando-as aos exemplos.
- Dado um
Passo 3
Exemplo 1 — sequência crescente que diverge para
:
.
Vou provar passo a passo que é não limitada usando a estratégia 1.
Vou provar passo a passo que
- Definição da sequência: para todo
(onde ), temos . - Tomemos um
arbitrário (esta é a hipótese típica para provar que não existe que limite a sequência). - Escolha o índice
onde
é a parte inteira de
. Por construção
.
4) Avaliando a sequência em :
. Como
, segue
. Em particular
.
5) Como para um qualquer conseguimos encontrar um
com
, pela definição
é não limitada.
Comentário extra útil para prova: também se diz que ; isso é provado exatamente com o mesmo tipo de argumento (para cada
existe
tal que
).
4) Avaliando a sequência em
5) Como para um
Comentário extra útil para prova: também se diz que
Passo 4
Exemplo 2 — sequência oscilante porém com módulo que cresce:
.
Vou provar que é não limitada e mostrar duas interpretações que ajudam numa prova.
Vou provar que
- Definição: para todo
, . Isso significa que os termos são . - Observação simples e útil:
. Isto reduz a prova ao caso da sequência do Passo 3. - Prova direta (mesma ideia do Passo 3): dado
arbitrário, escolha . Então . Logo é não limitada. - Interpretação por subsequências (estratégia 2): a subsequência com índices pares
tende a (portanto é não limitada); a subsequência com índices ímpares tende a . Como há uma subsequência cujo módulo tende a , a sequência completa é não limitada. - Comentário de prova: essa sequência exemplifica um caso que pode confundir — os termos mudam de sinal (oscilam), então não têm limite finito, mas além disso têm módulo que cresce sem limite; por isso ela é não limitada mesmo não tendo monotonicidade.
Passo 5
Dicas rápidas para a prova na hora da prova (resumo prático):
- Se quiser dar exemplos rápidos:
,
, , , , ) são todos não limitados (explique por comparação ou usando ). - Sempre trabalhe com a definição: dado
construa com . Essa é a forma mais direta e segura em uma prova. - Se achar conveniente, demonstre que uma subsequência tende a
ou ; isso já basta para concluir não limitidade. - Não esqueça de explicitar a escolha de
em função de (por exemplo ou ) para que o avaliador veja a construção.