Dê dois exemplos de sequências não limitadas diferentes daquelas que constam nos exercícios 2 e 3 .

Passo 1

O enunciado pede: “Dê dois exemplos de sequências não limitadas diferentes daquelas que constam nos exercícios 2 e 3.”
Informações relevantes que temos agora:
  • Preciso fornecer exatamente dois exemplos de sequências que sejam não limitadas (ou seja, unbounded).
  • Os exemplos devem ser diferentes dos das questões 2 e 3 (como essas não foram fornecidas, vou escolher exemplos comuns porém distintos entre si).
  • Para cada exemplo devo justificar didaticamente por que a sequência é não limitada, mostrando como provar isso de forma que possa ser usado numa prova.

Passo 2

Definição e ideia para provar que uma sequência é não limitada (explicação didática e sem pular etapas).
  • Definição: uma sequência (x_n)_{n\ge1} é limitada se existe M>0 tal que |x_n|\le M para todo n.
  • Contraponto: a sequência é não limitada (ou seja, ilimitada) se não existe tal M. Em linguagem de quantificadores: (x_n) é não limitada se
\forall M>0\\ \exists n\in\mathbb{N}\\ \text{tal que}\\ |x_n|>M.
  • Estratégias práticas para provar que uma sequência é não limitada:
    1. Dado um M>0, construir explicitamente um índice n (em função de M) com |x_n|>M. Ex.: escolher n=\lfloor M\rfloor+1 ou n=\lceil M\rceil+1.
    2. Mostrar que existe uma subsequência que tende a +\infty ou a -\infty; se uma subsequência tem módulo arbitrariamente grande, a sequência inteira é não limitada.
    3. Comparar com uma sequência já conhecida e não limitada (por exemplo n, n^2, 2^n) e usar que se |x_n|\ge y_n e y_n\to\infty então (x_n) é não limitada.
      Explicarei essas ideias aplicando-as aos exemplos.

Passo 3

Exemplo 1 — sequência crescente que diverge para +\infty: \displaystyle a_n = n.
Vou provar passo a passo que (a_n) é não limitada usando a estratégia 1.
  1. Definição da sequência: para todo n\in\mathbb{N} (onde \mathbb{N}=\{1,2,3,\dots\}), temos a_n=n.
  2. Tomemos um M>0 arbitrário (esta é a hipótese típica para provar que não existe M que limite a sequência).
  3. Escolha o índice
N = \lfloor M\rfloor + 1,
onde \lfloor M\rfloor é a parte inteira de M. Por construção N> M.
4) Avaliando a sequência em N: a_N = N. Como N>M, segue a_N > M. Em particular |a_N|=a_N>M.
5) Como para um M qualquer conseguimos encontrar um N com |a_N|>M, pela definição (a_n) é não limitada.
Comentário extra útil para prova: também se diz que \lim_{n\to\infty} a_n = +\infty; isso é provado exatamente com o mesmo tipo de argumento (para cada M existe N tal que n\ge N \Rightarrow a_n\ge n\ge N > M).

Passo 4

Exemplo 2 — sequência oscilante porém com módulo que cresce: \displaystyle b_n = (-1)^n n.
Vou provar que (b_n) é não limitada e mostrar duas interpretações que ajudam numa prova.
  1. Definição: para todo n\in\mathbb{N}, b_n = (-1)^n n. Isso significa que os termos são b_1=-1,\\ b_2=2,\\ b_3=-3,\\ b_4=4,\\ \dots.
  2. Observação simples e útil: |b_n| = |(-1)^n n| = n. Isto reduz a prova ao caso da sequência n do Passo 3.
  3. Prova direta (mesma ideia do Passo 3): dado M>0 arbitrário, escolha N=\lfloor M\rfloor+1. Então |b_N|=N>M. Logo (b_n) é não limitada.
  4. Interpretação por subsequências (estratégia 2): a subsequência com índices pares b_{2k}=2k tende a +\infty (portanto é não limitada); a subsequência com índices ímpares b_{2k+1}=-(2k+1) tende a -\infty. Como há uma subsequência cujo módulo tende a +\infty, a sequência completa é não limitada.
  5. Comentário de prova: essa sequência exemplifica um caso que pode confundir — os termos mudam de sinal (oscilam), então não têm limite finito, mas além disso têm módulo que cresce sem limite; por isso ela é não limitada mesmo não tendo monotonicidade.

Passo 5

Dicas rápidas para a prova na hora da prova (resumo prático):
  • Se quiser dar exemplos rápidos: \(n, n^2, 2^n, n!, (-1)^n n, \sin(n)\cdot n) são todos não limitados (explique por comparação ou usando |\cdot|).
  • Sempre trabalhe com a definição: dado M>0 construa n com |x_n|>M. Essa é a forma mais direta e segura em uma prova.
  • Se achar conveniente, demonstre que uma subsequência tende a +\infty ou -\infty; isso já basta para concluir não limitidade.
  • Não esqueça de explicitar a escolha de N em função de M (por exemplo N=\lfloor M\rfloor+1 ou N=\lceil M\rceil) para que o avaliador veja a construção.

Resposta

\displaystyle a_n = n\n
\displaystyle b_n = (-1)^n n

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