Dois fabricantes de rodas de liga leve atendem o setor automotivo. A demanda é
.
(a) Resolva o equilíbrio de Cournot.
(b) Determine preço e lucros.
(a) Resolva o equilíbrio de Cournot.
(b) Determine preço e lucros.
Passo 1
O enunciado e as perguntas (não há dúvidas a pedir, então vou assumir o que falta):
- Duas fabricantes (duopólio) produzem quantidades
e . - A demanda inversa é
com . - Perguntas:
(a) Resolver o equilíbrio de Cournot (ou seja, encontrare );
(b) Determinar o preço de mercado e os lucros de cada firma no equilíbrio. - Informação ausente sobre custos: o enunciado não informa custos. Vou assumir o caso padrão e simples: custo marginal zero e custo total zero, isto é
para cada firma (se houvesse custo constante o procedimento é análogo, apenas aparece nas fórmulas).
Passo 2
Definições e objetivo matemático:
- Variáveis:
-
= quantidade produzida pela firma 1 (o que ela escolhe), -
= quantidade produzida pela firma 2 (fixa do ponto de vista da firma 1 ao otimizar), -
= quantidade total do mercado, -
= preço de mercado.
-
- Função lucro da firma
: receita menos custo. Com custo zero,
onde
é o rival (
). O objetivo de cada firma é escolher
que maximize
, tomando
como dado.
Passo 3
Escrevendo explicitamente os lucros de cada firma:
Cada firma resolve um problema de maximização univariado quando
é tratado como constante.
Passo 4
Condições de primeiro e segundo ordem (intuição):
- Para maximizar
em (com fixo) utilizamos a condição de primeira ordem: derivar em relação a e igualar a zero. - Verificamos a segunda derivada para garantir que é máximo (a segunda derivada deve ser negativa).
Passo 5
Calcular a derivada de
em relação a
e resolver a condição de primeira ordem:
Igualando a zero (condição de primeira ordem):
Dessa equação obtém-se a função de reação (melhor resposta) da firma 1:
Verificação da segunda ordem:
, logo é de fato máximo (boa notícia).
Passo 6
Pelo mesmo raciocínio para a firma 2 (simetria), a sua função de reação é
Agora temos um sistema de duas equações em
e
.
Passo 7
Resolver o sistema. Como as firmas são idênticas, procuramos uma solução simétrica com
. Substituindo em qualquer função de reação:
Resolver:
Logo no equilíbrio de Cournot:
Passo 8
Calcular quantidade total e preço no equilíbrio:
O preço de mercado é
Passo 9
Calcular os lucros de cada firma no equilíbrio:
Pela simetria
.
Se quiser aproximação numérica: e
.
Se quiser aproximação numérica:
Resposta
(a)
(b)