Dois fabricantes de rodas de liga leve atendem o setor automotivo. A demanda é P(Q)=100-Q.
(a) Resolva o equilíbrio de Cournot.
(b) Determine preço e lucros.

Passo 1

O enunciado e as perguntas (não há dúvidas a pedir, então vou assumir o que falta):
  • Duas fabricantes (duopólio) produzem quantidades \,q_1 e \,q_2.
  • A demanda inversa é \;P(Q)=100-Q\; com \;Q=q_1+q_2.
  • Perguntas:
    (a) Resolver o equilíbrio de Cournot (ou seja, encontrar \,q_1^* e \,q_2^*);
    (b) Determinar o preço de mercado e os lucros de cada firma no equilíbrio.
  • Informação ausente sobre custos: o enunciado não informa custos. Vou assumir o caso padrão e simples: custo marginal zero e custo total zero, isto é \;C_i(q_i)=0\; para cada firma (se houvesse custo constante \,c o procedimento é análogo, apenas aparece \,c nas fórmulas).

Passo 2

Definições e objetivo matemático:
  • Variáveis:
    • \,q_1 = quantidade produzida pela firma 1 (o que ela escolhe),
    • \,q_2 = quantidade produzida pela firma 2 (fixa do ponto de vista da firma 1 ao otimizar),
    • \,Q=q_1+q_2 = quantidade total do mercado,
    • \,P(Q)=100-Q = preço de mercado.
  • Função lucro da firma i: receita menos custo. Com custo zero,
\pi_i(q_i,q_j)=q_i\cdot P(Q)=q_i\bigl(100 - q_i - q_j\bigr),
onde j é o rival ( j\neq i). O objetivo de cada firma é escolher q_i\ge 0 que maximize \pi_i, tomando q_j como dado.

Passo 3

Escrevendo explicitamente os lucros de cada firma:
\pi_1(q_1,q_2)=q_1\bigl(100-q_1-q_2\bigr)=100q_1-q_1^2-q_1q_2,
\pi_2(q_1,q_2)=q_2\bigl(100-q_1-q_2\bigr)=100q_2-q_2^2-q_1q_2.
Cada firma resolve um problema de maximização univariado quando \,q_j é tratado como constante.

Passo 4

Condições de primeiro e segundo ordem (intuição):
  • Para maximizar \pi_1 em q_1 (com q_2 fixo) utilizamos a condição de primeira ordem: derivar \pi_1 em relação a q_1 e igualar a zero.
  • Verificamos a segunda derivada para garantir que é máximo (a segunda derivada deve ser negativa).

Passo 5

Calcular a derivada de \pi_1 em relação a \,q_1 e resolver a condição de primeira ordem:
\frac{\partial \pi_1}{\partial q_1}=100-2q_1-q_2.
Igualando a zero (condição de primeira ordem):
100-2q_1-q_2=0.
Dessa equação obtém-se a função de reação (melhor resposta) da firma 1:
q_1=\frac{100-q_2}{2}.
Verificação da segunda ordem: \frac{\partial^2\pi_1}{\partial q_1^2}=-2<0, logo é de fato máximo (boa notícia).

Passo 6

Pelo mesmo raciocínio para a firma 2 (simetria), a sua função de reação é
q_2=\frac{100-q_1}{2}.
Agora temos um sistema de duas equações em q_1 e q_2.

Passo 7

Resolver o sistema. Como as firmas são idênticas, procuramos uma solução simétrica com q_1=q_2=q. Substituindo em qualquer função de reação:
q=\frac{100-q}{2}.
Resolver:
2q=100-q \quad\Rightarrow\quad 3q=100 \quad\Rightarrow\quad q=\frac{100}{3}.
Logo no equilíbrio de Cournot:
q_1^*=q_2^*=\frac{100}{3}.

Passo 8

Calcular quantidade total e preço no equilíbrio:
Q^*=q_1^*+q_2^*=\frac{100}{3}+\frac{100}{3}=\frac{200}{3}.
O preço de mercado é
P^*=100-Q^*=100-\frac{200}{3}=\frac{100}{3}.

Passo 9

Calcular os lucros de cada firma no equilíbrio:
\pi_1^*=q_1^*\cdot P^*=\frac{100}{3}\cdot\frac{100}{3}=\frac{10000}{9}.
Pela simetria \pi_2^*=\pi_1^*=\dfrac{10000}{9}.
Se quiser aproximação numérica: \dfrac{100}{3}\approx 33,333 e \dfrac{10000}{9}\approx 1111,11.

Resposta

(a) q_1^*=q_2^*=\dfrac{100}{3}.
(b) P^*=\dfrac{100}{3}.
\pi_1^*=\pi_2^*=\dfrac{10000}{9}.

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