Duas empresas produzem cimento usinado. A demanda é P(Q)=a-b Q e C M g=c.
(a) Derive as melhores respostas de Cournot.
(b) Encontre o equilíbrio \left(q_{1}^{*}, q_{2}^{*}\right).
(c) Compare com as soluções competitiva e monopolista.

Passo 1

O enunciado dá:
  • Função demanda: P(Q)=a-bQ, com a>0 e b>0.
  • Custo marginal constante: CMg=c (isto é, custo marginal c por unidade).
    O que é pedido:
    (a) derivar as melhores respostas de Cournot (ou seja, a função que dá o q_i ótimo de uma firma em função do q_j da rival);
    (b) encontrar o equilíbrio \left(q_{1}^{*},q_{2}^{*}\right) (a solução simultânea das melhores respostas);
    (c) comparar esse equilíbrio com as soluções concorrencial (preço = custo marginal) e monopolista (um só produtor que maximiza lucro).

Passo 2

Definir o problema de cada firma e escrever o lucro. Vou mostrar passo a passo como montar a função lucro e por que tomamos derivada para otimizar.
  • Notação: q_1 e q_2 são as quantidades produzidas pelas firmas 1 e 2. Q=q_1+q_2 é a quantidade total do mercado. O preço resultante é P(Q)=a-bQ.
  • Receita da firma 1: R_1=P(Q)\,q_1=(a-b(q_1+q_2))q_1.
  • Custo total da firma 1 (com custo marginal constante c): C_1=c\,q_1.
  • Lucro da firma 1:
\pi_1(q_1,q_2)=R_1-C_1=(a-b(q_1+q_2))q_1-cq_1.
Explicação didática: o lucro é receita menos custo. A firma 1 escolhe q_1 sabendo q_2 como dado; por isso \pi_1 é função de q_1 com parâmetro q_2.

Passo 3

Encontrar a melhor resposta de q_1 dado q_2. Passo a passo do cálculo do primeiro-ordem:
Escrevendo explicitamente a receita:
\pi_1(q_1,q_2)=a q_1 - b q_1^2 - b q_1 q_2 - c q_1.
Para maximizar em relação a q_1, calculamos a derivada parcial (regra: derivada de q_1^2 é 2q_1, de q_1 q_2 em relação a q_1 é q_2, constantes saem):
\frac{\partial \pi_1}{\partial q_1}=a - 2b q_1 - b q_2 - c.
Condição de primeira ordem (FOC) para máximo:
a - 2b q_1 - b q_2 - c = 0.
Isolando q_1:
q_1=\frac{a-c}{2b}-\frac{1}{2}q_2.
Interpretação didática: essa é a melhor resposta da firma 1 — uma reta linear de inclinação -\tfrac{1}{2} que mostra que, quanto maior q_2, menor o q_1 ótimo. A constante \tfrac{a-c}{2b} é o intercepto (quando rival produz zero). Verificação de segundo ordem: \frac{\partial^2 \pi_1}{\partial q_1^2}=-2b<0, logo é máximo local (isto é, lucro côncavo em q_1).
A melhor resposta da firma 2 é análoga (simetria do problema):
q_2=\frac{a-c}{2b}-\frac{1}{2}q_1.

Passo 4

Resolver simultaneamente as duas melhores respostas para obter o equilíbrio de Cournot. Método: substituir ou somar as equações.
As duas equações são
q_1=\frac{a-c}{2b}-\frac{1}{2}q_2, \qquad q_2=\frac{a-c}{2b}-\frac{1}{2}q_1.
Somando membro a membro:
q_1+q_2=\frac{a-c}{b}-\frac{1}{2}(q_1+q_2).
Isolando q_1+q_2:
\frac{3}{2}(q_1+q_2)=\frac{a-c}{b} \quad\Rightarrow\quad q_1+q_2=\frac{2(a-c)}{3b}.
Pela simetria do problema (e das equações), no equilíbrio temos q_1^*=q_2^*. Então cada uma produz metade do total:
q_1^*=q_2^*=\frac{1}{2}\cdot\frac{2(a-c)}{3b}=\frac{a-c}{3b}.
Total de mercado no equilíbrio de Cournot:
Q^{\text{Cournot}}=q_1^*+q_2^*=\frac{2(a-c)}{3b}.
Preço resultante:
P^{\text{Cournot}}=a-bQ^{\text{Cournot}}=a-b\cdot\frac{2(a-c)}{3b}=\frac{a+2c}{3}.
Lucro de cada firma (lucro por firma = (P-c)q):
\pi_1^*=\left(P^{\text{Cournot}}-c\right)q_1^*=\frac{a-c}{3}\cdot\frac{a-c}{3b}=\frac{(a-c)^2}{9b}.
Total de lucro da indústria em Cournot:
\Pi^{\text{Cournot}}_{\text{total}}=2\cdot\frac{(a-c)^2}{9b}=\frac{2(a-c)^2}{9b}.

Passo 5

Encontrar as soluções concorrencial e monopolista (passo a passo breve e didático).
Concorrência perfeita (preço iguala custo marginal):
  • Preço: P^{\text{comp}}=c.
  • A partir da demanda P=a-bQ, igualando c=a-bQ
Q^{\text{comp}}=\frac{a-c}{b}.
  • Lucro por firma em concorrência: se há muitas firmas com preço c, lucro econômico é zero (ou a firma marginal tem lucro zero).
Monopolista (um só produtor maximizando lucro total):
  • Lucro monopolista em função de Q: \pi(Q)=(a-bQ)Q-cQ=aQ-bQ^2-cQ.
  • Derivando e igualando a zero (FOC):
\frac{d\pi}{dQ}=a-2bQ-c=0 \quad\Rightarrow\quad Q^{\text{mon}}=\frac{a-c}{2b}.
  • Preço monopolista:
P^{\text{mon}}=a-bQ^{\text{mon}}=a-b\cdot\frac{a-c}{2b}=\frac{a+c}{2}.
  • Lucro do monopolista:
\pi^{\text{mon}}=(P^{\text{mon}}-c)Q^{\text{mon}}=\frac{(a-c)^2}{4b}.

Passo 6

Comparações (organizadas e com interpretações numéricas relativas aos fatores que aparecem):
Quantidades (fatores multiplicativos de \tfrac{a-c}{b}):
Q^{\text{mon}}=\frac{1}{2}\cdot\frac{a-c}{b},\qquad Q^{\text{Cournot}}=\frac{2}{3}\cdot\frac{a-c}{b},\qquad Q^{\text{comp}}=1\cdot\frac{a-c}{b}.
Logo a ordem é
Q^{\text{mon}} < Q^{\text{Cournot}} < Q^{\text{comp}}.
Preços:
P^{\text{mon}}=\frac{a+c}{2},\qquad P^{\text{Cournot}}=\frac{a+2c}{3},\qquad P^{\text{comp}}=c.
E a ordem é
P^{\text{mon}} > P^{\text{Cournot}} > P^{\text{comp}}.
Lucros (e bem-estar do produtor):
\pi^{\text{mon}}=\frac{(a-c)^2}{4b},\qquad \Pi^{\text{Cournot}}_{\text{total}}=\frac{2(a-c)^2}{9b},\qquad \pi^{\text{comp}}=0.
Numericamente, \frac{1}{4}=0{,}25 e \frac{2}{9}\approx0{,}222, então \pi^{\text{mon}}>\Pi^{\text{Cournot}}_{\text{total}}>\pi^{\text{comp}}=0.
Interpretação rápida e didática: o monopólio restringe mais a quantidade para elevar o preço e obter maior lucro; a concorrência perfeita empurra o preço para o custo marginal c e maximiza quantidade; o equilíbrio de Cournot, com dois produtores que decidem quantidade estrategicamente, fica entre esses extremos.

Resposta

(a) BR_1(q_2)=\dfrac{a-c}{2b}-\dfrac{1}{2}q_2,\qquad BR_2(q_1)=\dfrac{a-c}{2b}-\dfrac{1}{2}q_1.\n
(b) \displaystyle (q_1^*,q_2^*)=\left(\dfrac{a-c}{3b},\dfrac{a-c}{3b}\right), \displaystyle Q^{\text{Cournot}}=\dfrac{2(a-c)}{3b}, \displaystyle P^{\text{Cournot}}=\dfrac{a+2c}{3}, \displaystyle \pi_1^*=\pi_2^*=\dfrac{(a-c)^2}{9b}.\n
(c) Concorrencial: \displaystyle Q^{\text{comp}}=\dfrac{a-c}{b},\\ P^{\text{comp}}=c,\\ \pi^{\text{comp}}=0. Monopolista: \displaystyle Q^{\text{mon}}=\dfrac{a-c}{2b},\\ P^{\text{mon}}=\dfrac{a+c}{2},\\ \pi^{\text{mon}}=\dfrac{(a-c)^2}{4b}. Ordem: \;Q^{\text{mon}}<Q^{\text{Cournot}}<Q^{\text{comp}}\; e \;P^{\text{mon}}>P^{\text{Cournot}}>P^{\text{comp}}.

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