Duas empresas produzem cimento usinado. A demanda é
e
.
(a) Derive as melhores respostas de Cournot.
(b) Encontre o equilíbrio
.
(c) Compare com as soluções competitiva e monopolista.
(a) Derive as melhores respostas de Cournot.
(b) Encontre o equilíbrio
(c) Compare com as soluções competitiva e monopolista.
Passo 1
O enunciado dá:
- Função demanda:
, com e . - Custo marginal constante:
(isto é, custo marginal por unidade).
O que é pedido:
(a) derivar as melhores respostas de Cournot (ou seja, a função que dá oótimo de uma firma em função do da rival);
(b) encontrar o equilíbrio(a solução simultânea das melhores respostas);
(c) comparar esse equilíbrio com as soluções concorrencial (preço = custo marginal) e monopolista (um só produtor que maximiza lucro).
Passo 2
Definir o problema de cada firma e escrever o lucro. Vou mostrar passo a passo como montar a função lucro e por que tomamos derivada para otimizar.
- Notação:
e são as quantidades produzidas pelas firmas 1 e 2. é a quantidade total do mercado. O preço resultante é . - Receita da firma 1:
. - Custo total da firma 1 (com custo marginal constante
): . - Lucro da firma 1:
Explicação didática: o lucro é receita menos custo. A firma 1 escolhe
sabendo
como dado; por isso
é função de
com parâmetro
.
Passo 3
Encontrar a melhor resposta de
dado
. Passo a passo do cálculo do primeiro-ordem:
Escrevendo explicitamente a receita:
Para maximizar em relação a
, calculamos a derivada parcial (regra: derivada de
é
, de
em relação a
é
, constantes saem):
Condição de primeira ordem (FOC) para máximo:
Isolando
:
Interpretação didática: essa é a melhor resposta da firma 1 — uma reta linear de inclinação
que mostra que, quanto maior
, menor o
ótimo. A constante
é o intercepto (quando rival produz zero). Verificação de segundo ordem:
, logo é máximo local (isto é, lucro côncavo em
).
A melhor resposta da firma 2 é análoga (simetria do problema):
Passo 4
Resolver simultaneamente as duas melhores respostas para obter o equilíbrio de Cournot. Método: substituir ou somar as equações.
As duas equações são
Somando membro a membro:
Isolando
:
Pela simetria do problema (e das equações), no equilíbrio temos
. Então cada uma produz metade do total:
Total de mercado no equilíbrio de Cournot:
Preço resultante:
Lucro de cada firma (lucro por firma =
):
Total de lucro da indústria em Cournot:
Passo 5
Encontrar as soluções concorrencial e monopolista (passo a passo breve e didático).
Concorrência perfeita (preço iguala custo marginal):
- Preço:
. - A partir da demanda
, igualando dá
- Lucro por firma em concorrência: se há muitas firmas com preço
, lucro econômico é zero (ou a firma marginal tem lucro zero).
Monopolista (um só produtor maximizando lucro total):
- Lucro monopolista em função de
: . - Derivando e igualando a zero (FOC):
- Preço monopolista:
- Lucro do monopolista:
Passo 6
Comparações (organizadas e com interpretações numéricas relativas aos fatores que aparecem):
Quantidades (fatores multiplicativos de
):
Logo a ordem é
Preços:
E a ordem é
Lucros (e bem-estar do produtor):
Numericamente,
e
, então
.
Interpretação rápida e didática: o monopólio restringe mais a quantidade para elevar o preço e obter maior lucro; a concorrência perfeita empurra o preço para o custo marginal
e maximiza quantidade; o equilíbrio de Cournot, com dois produtores que decidem quantidade estrategicamente, fica entre esses extremos.
Resposta
(a)
.\n
(b) ,
,
,
.\n
(c) Concorrencial: Monopolista:
Ordem:
e
.
(b)
(c) Concorrencial: