Os dois faróis de um automóvel que se aproxima de uma observador estão separados por uma distância de 1,5 \mathrm{~m}. Supondo que o diâmetro da pupila do observador seja de 4 mm e que use um comprimento de onda de luz de 550 nm para a luz dos faróis. Suponha também que a resolução seja limitada apenas pelos efeitos da difração e portanto que o critério de Rayleigh possa ser aplicado, sendo assim, qual é a separação angular mínima para que o observador distinguir os faróis e qual a distância máxima para que o olho do observador seja capaz de observá-los? (Resp: \approx 4471 m )

Passo 1

O enunciado fornece os seguintes dados e pede duas coisas claras:
  • Dados fornecidos: \text{separação entre os faróis } s = 1,5\\ \mathrm{m}çãó
\text{diâmetro da pupila do observador } D = 4\\ \mathrm{mm}â
\text{comprimento de onda usado } \lambda = 550\\ \mathrm{nm}
  • Perguntas pedidas:
    1. Qual é a separação angular mínima para que o observador consiga distinguir os dois faróis?
    2. Qual é a distância máxima para que o olho do observador seja capaz de observá-los (isto é, a maior distância R tal que os faróis ainda sejam resolvíveis)?

Passo 2

Vamos aprender a ferramenta que usamos: o critério de Rayleigh para uma abertura circular (a pupila).
O critério de Rayleigh diz que dois pontos são apenas resolvíveis quando a separação angular entre eles é, no mínimo, igual ao raio angular do primeiro mínimo do disco de Airy. A fórmula desse ângulo mínimo é
\theta_{\min} = 1,22\,\frac{\lambda}{D},
onde:
  • \theta_{\min} é a separação angular mínima resolvível (em radianos),
  • \lambda é o comprimento de onda da luz (em metros),
  • D é o diâmetro da abertura circular (aqui, a pupila) (em metros).
Explicação simples: a pupila age como uma abertura difratora; a imagem de um ponto não é um ponto perfeito, mas um disco com anéis (disco de Airy). O número 1,22 vem da primeira raiz da função de Bessel que descreve esse padrão; não precisamos derivar aqui, só usar a fórmula.

Passo 3

Primeiro convertemos todas as unidades para metros:
\lambda = 550\\ \mathrm{nm} = 550\times10^{-9}\\ \mathrm{m} = 5{,}50\times10^{-7}\\ \mathrm{m},
D = 4\\ \mathrm{mm} = 4\times10^{-3}\\ \mathrm{m}.

Passo 4

Calculamos a separação angular mínima usando a fórmula de Rayleigh. Substituindo os valores:
\theta_{\min} = 1,22\frac{\lambda}{D} = 1,22\frac{5{,}50\times10^{-7}}{4\times10^{-3}}.
Agora fazemos as contas passo a passo:
1{,}22\times5{,}50\times10^{-7} = 6{,}71\times10^{-7},
\theta_{\min} = \frac{6{,}71\times10^{-7}}{4\times10^{-3}} = 1{,}6775\times10^{-4}\\ \text{rad}.
Arredondando razoavelmente:
\theta_{\min} \approx 1{,}68\times10^{-4}\\ \text{rad}.
Para ter uma ideia em unidades mais familiares, convertemos para graus:
1\\ \text{rad}\approx57{,}2958^\circ \Rightarrow \theta_{\min}\approx 1{,}68\times10^{-4}\times57{,}2958 \approx 0{,}00961^\circ,
ou em segundos de arco:
0{,}00961^\circ \times3600 \approx 34{,}6''.

Passo 5

Agora relacionamos separação angular com distância. Para objetos muito distantes (pequeno ângulo), a separação angular \theta entre os dois faróis de separação linear s vista a partir de distância R é dada por
\theta \approx \frac{s}{R},
onde s e R estão em metros e \theta em radianos (aproximação do pequeno ângulo). Para que os faróis sejam apenas resolvíveis pelo critério de Rayleigh, queremos \theta = \theta_{\min}. Assim a distância máxima R_{\max} é
R_{\max} = \frac{s}{\theta_{\min}}.

Passo 6

Substituímos s=1{,}5\\ \mathrm{m} e \theta_{\min}=1{,}6775\times10^{-4}\\ \text{rad}:
R_{\max} = \frac{1{,}5}{1{,}6775\times10^{-4}}.
Calculando:
\frac{1}{1{,}6775\times10^{-4}} \approx 5961{,}9,
R_{\max} \approx 1{,}5\times5961{,}9 \approx 8942{,}9\\ \mathrm{m}.
Arredondando:
R_{\max} \approx 8{,}94\times10^{3}\\ \mathrm{m} \quad(\text{aproximadamente }8943\\ \mathrm{m}).
Observação importante (para não te deixar confuso): o valor que aparece no enunciado-resposta fornecido por você é \approx 4471\\ \mathrm{m}, que é exatamente metade do valor que encontrei. Essa diferença por um fator 2 costuma ocorrer se alguém, por engano, usou D=2\\ \mathrm{mm} (ou seja, usou o raio da pupila como se fosse o diâmetro). Se fizermos o cálculo com D=2\times10^{-3}\\ \mathrm{m} obtemos
\theta_{\min}' \approx 3{,}355\times10^{-4}\\ \text{rad}\quad\Rightarrow\quad R'_{\max}\approx\frac{1{,}5}{3{,}355\times10^{-4}}\approx4471\\ \mathrm{m}.
Portanto, se seu gabarito esperava \approx4471\\ \mathrm{m}, provavelmente usaram D=2\\ \mathrm{mm} (ou houve outro detalhe na interpretação do enunciado). Mas com os dados que você forneceu ( D=4\\ \mathrm{mm}) o cálculo correto dá \approx8943\\ \mathrm{m}.

Resposta

\theta_{\min}\approx 1{,}68\times10^{-4}\\ \text{rad}\approx 0{,}00961^\circ\approx34{,}6''\n
R_{\max}\approx 8{,}94\times10^{3}\\ \mathrm{m}

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