Os dois faróis de um automóvel que se aproxima de uma observador estão separados por uma distância de
. Supondo que o diâmetro da pupila do observador seja de 4 mm e que use um comprimento de onda de luz de 550 nm para a luz dos faróis. Suponha também que a resolução seja limitada apenas pelos efeitos da difração e portanto que o critério de Rayleigh possa ser aplicado, sendo assim, qual é a separação angular mínima para que o observador distinguir os faróis e qual a distância máxima para que o olho do observador seja capaz de observá-los? (Resp:
)
Passo 1
O enunciado fornece os seguintes dados e pede duas coisas claras:
- Dados fornecidos:
- Perguntas pedidas:
- Qual é a separação angular mínima para que o observador consiga distinguir os dois faróis?
- Qual é a distância máxima para que o olho do observador seja capaz de observá-los (isto é, a maior distância
tal que os faróis ainda sejam resolvíveis)?
Passo 2
Vamos aprender a ferramenta que usamos: o critério de Rayleigh para uma abertura circular (a pupila).
O critério de Rayleigh diz que dois pontos são apenas resolvíveis quando a separação angular entre eles é, no mínimo, igual ao raio angular do primeiro mínimo do disco de Airy. A fórmula desse ângulo mínimo é
O critério de Rayleigh diz que dois pontos são apenas resolvíveis quando a separação angular entre eles é, no mínimo, igual ao raio angular do primeiro mínimo do disco de Airy. A fórmula desse ângulo mínimo é
onde:
-
é a separação angular mínima resolvível (em radianos), -
é o comprimento de onda da luz (em metros), -
é o diâmetro da abertura circular (aqui, a pupila) (em metros).
Explicação simples: a pupila age como uma abertura difratora; a imagem de um ponto não é um ponto perfeito, mas um disco com anéis (disco de Airy). O número
vem da primeira raiz da função de Bessel que descreve esse padrão; não precisamos derivar aqui, só usar a fórmula.
Passo 3
Primeiro convertemos todas as unidades para metros:
Passo 4
Calculamos a separação angular mínima usando a fórmula de Rayleigh. Substituindo os valores:
Agora fazemos as contas passo a passo:
Arredondando razoavelmente:
Para ter uma ideia em unidades mais familiares, convertemos para graus:
ou em segundos de arco:
Passo 5
Agora relacionamos separação angular com distância. Para objetos muito distantes (pequeno ângulo), a separação angular
entre os dois faróis de separação linear
vista a partir de distância
é dada por
onde
e
estão em metros e
em radianos (aproximação do pequeno ângulo). Para que os faróis sejam apenas resolvíveis pelo critério de Rayleigh, queremos
. Assim a distância máxima
é
Passo 6
Substituímos
e
:
Calculando:
Arredondando:
Observação importante (para não te deixar confuso): o valor que aparece no enunciado-resposta fornecido por você é
, que é exatamente metade do valor que encontrei. Essa diferença por um fator 2 costuma ocorrer se alguém, por engano, usou
(ou seja, usou o raio da pupila como se fosse o diâmetro). Se fizermos o cálculo com
obtemos
Portanto, se seu gabarito esperava
, provavelmente usaram
(ou houve outro detalhe na interpretação do enunciado). Mas com os dados que você forneceu (
) o cálculo correto dá
.