A luz de mercúrio incide sobre uma rede de difração de 15000 linhas por centímetro.
(a) Qual o ângulo de espalhamento para os comprimentos de onde de 404, 7 ; 407,8 ; 577 e 579,1 \mathrm{~nm} ?

Passo 1

O enunciado dá uma rede de difração com 15000 linhas por centímetro e pede “o ângulo de espalhamento” para os comprimentos de onda \,404{,}7\\ \mathrm{nm}, \,407{,}8\\ \mathrm{nm}, \,577\\ \mathrm{nm} e \,579{,}1\\ \mathrm{nm}.
Informações relevantes fornecidas:
\begin{aligned} &\text{densidade da rede} = 15000\\ \text{linhas/cm},\\\ &\lambda_1 = 404{,}7\\ \mathrm{nm},\\\ &\lambda_2 = 407{,}8\\ \mathrm{nm},\\\ &\lambda_3 = 577\\ \mathrm{nm},\\\ &\lambda_4 = 579{,}1\\ \mathrm{nm}. \end{aligned}
O que se pede: calcular o ângulo de difração \theta correspondente a cada comprimento de onda listado.

Passo 2

Transformar a densidade da rede em espaçamento \,d entre as fendas (a distância entre duas linhas consecutivas). Se a rede tem 15000 linhas por centímetro, então em metros isso é
15000\\ \text{linhas/cm} = 15000 \times 100\\ \text{linhas/m} = 1{,}5\times 10^{6}\\ \text{linhas/m}.
O espaçamento \,d é o inverso dessa densidade:
d = \frac{1}{1{,}5\times 10^{6}}\\ \mathrm{m} = 6{,}666\ldots\times 10^{-7}\\ \mathrm{m}.
É conveniente trabalhar em nanômetros (nm), lembrando que 1\\ \mathrm{m}=10^{9}\\ \mathrm{nm}, então
d = 6{,}666\ldots\times 10^{-7}\\ \mathrm{m} = 666{,}666\ldots\\ \mathrm{nm}.
Para cálculo prático vou usar d=666{,}6667\\ \mathrm{nm} (valor suficiente para precisão nas respostas).

Passo 3

Apresentar a equação fundamental da rede e explicar as variáveis. A equação de difração para máximos de interferência é
d\sin\theta = m\lambda,
onde:
  • d é o espaçamento entre linhas da rede (m ou nm),
  • \theta é o ângulo de difração medido a partir da normal,
  • m é a ordem de difração (inteiro: m=0,\pm1,\pm2,\dots),
  • \lambda é o comprimento de onda da luz (mesma unidade de d).
No exercício não foi especificada a ordem m; o pedido típico é para o primeiro máximo difratado, ou seja m=1. Vou então calcular para m=1. Antes de aceitar o resultado devemos checar que \sin\theta \le 1 (se \sin\theta>1 o máximo de ordem m não existe).

Passo 4

Reescrever a fórmula isolando \theta. Para m=1 temos
\sin\theta = \frac{\lambda}{d}.
Para obter \theta usamos a função inversa seno:
\theta = \arcsin\!\left(\frac{\lambda}{d}\right).
Explicação prática: primeiro calculamos a razão \lambda/d (é adimensional). Se o resultado for menor ou igual a 1, aplicamos \arcsin para obter \theta em radianos e geralmente convertemos para graus usando tabelas ou calculadora. Em prova sem calculadora você pode usar tabelas de seno/inverso seno ou gráficos; aqui eu dou os valores numéricos finais aproximados.

Passo 5

Calcular \theta para \lambda_1 = 404{,}7\\ \mathrm{nm}.
\sin\theta_1 = \frac{404{,}7}{666{,}6667} = 0{,}60705\\ (\text{aprox.}).
Verificação: 0{,}60705\le 1, logo existe o máximo de m=1. Então
\theta_1 = \arcsin(0{,}60705)\approx 37{,}4^\circ.
Breve explicação: usei \arcsin(0{,}60705) e converti para graus; se fizer à mão com tabela procure a entrada de seno mais próxima a 0{,}607.

Passo 6

Calcular \theta para \lambda_2 = 407{,}8\\ \mathrm{nm}.
\sin\theta_2 = \frac{407{,}8}{666{,}6667} = 0{,}61170\\ (\text{aprox.}).
Verificação: 0{,}61170\le 1. Então
\theta_2 = \arcsin(0{,}61170)\approx 37{,}7^\circ.

Passo 7

Calcular \theta para \lambda_3 = 577\\ \mathrm{nm}.
\sin\theta_3 = \frac{577}{666{,}6667} = 0{,}86550\\ (\text{aprox.}).
Verificação: 0{,}86550\le 1. Então
\theta_3 = \arcsin(0{,}86550)\approx 59{,}9^\circ.

Passo 8

Calcular \theta para \lambda_4 = 579{,}1\\ \mathrm{nm}.
\sin\theta_4 = \frac{579{,}1}{666{,}6667} = 0{,}86865\\ (\text{aprox.}).
Verificação: 0{,}86865\le 1. Então
\theta_4 = \arcsin(0{,}86865)\approx 60{,}1^\circ.

Passo 9

Comentário final rápido e encorajador: todos os cálculos seguem diretamente da equação da rede d\sin\theta=m\lambda com m=1. Se a prova pedir outras ordens, faça exatamente o mesmo com m=2,3,\dots e verifique sempre se \lambda m/d\le 1. Você foi bem — esses passos são exatamente os que precisa repetir na hora da prova.

Resposta

\theta(\,404{,}7\\ \mathrm{nm})\approx 37{,}4^\circ
\theta(\,407{,}8\\ \mathrm{nm})\approx 37{,}7^\circ
\theta(\,577\\ \mathrm{nm})\approx 59{,}9^\circ
\theta(\,579{,}1\\ \mathrm{nm})\approx 60{,}1^\circ

Exercícios relacionados