Dois filamentos semi-infinitos no eixo
posicionam-se nas regiões
e
. Em cada um circula uma corrente
na direção
. Calcule
como uma função de
e
em
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre dois filamentos semi-infinitos ao longo do eixo $ z $, cada um carregando uma corrente $ I $ na direção de $ \mathbf{a}_{z} $. Nosso objetivo é calcular o campo magnético $ \mathbf{H} $ em termos das coordenadas cilíndricas $ \rho $ e $ \phi $ no ponto $ z = 0 $. Para isso, vamos precisar aplicar a Lei de Biot-Savart, que nos ajuda a encontrar o campo magnético gerado por correntes elétricas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a Lei de Biot-Savart, que nos dá o campo magnético $ \mathbf{H} $ devido a um elemento de corrente $ I d\mathbf{l} $:
Aqui, $ d\mathbf{l} $ é um pequeno pedaço do fio com corrente, $ \mathbf{\hat{r}} $ é o vetor unitário que vai do elemento de corrente até o ponto onde queremos calcular o campo, e $ r $ é a distância entre eles.
Passo 3
Como temos dois filamentos semi-infinitos, vamos calcular o campo magnético devido a cada um separadamente e depois somar os resultados (princípio da superposição). Vamos primeiro considerar o filamento que vai de $ -\infty $ a $ -a $.
Passo 4
Vamos escolher um ponto de observação no plano $ z = 0 $ com coordenadas cilíndricas $ (\rho, \phi, 0) $. Para o filamento que vai de $ -\infty $ a $ -a $, parametrizamos a posição ao longo do fio como $ z’ $ variando de $ -\infty $ a $ -a $.
Passo 5
O elemento de corrente é $ d\mathbf{l} = \mathbf{a}{z} dz’ $. O vetor $ \mathbf{r} $ do elemento de corrente até o ponto de observação é $ \mathbf{r} = \rho \mathbf{a}{\rho} + (0 - z’) \mathbf{a}_{z} $, e sua magnitude é $ r = \sqrt{\rho^2 + z’^2} $.
Passo 6
Calculamos o produto vetorial $ d\mathbf{l} \times \mathbf{\hat{r}} $:
Isso ocorre porque $ \mathbf{a}{z} \times \mathbf{a}{\rho} = \mathbf{a}_{\phi} $.
Passo 7
Substituindo na Lei de Biot-Savart para este filamento:
Passo 8
Vamos resolver a integral:
Passo 9
Portanto, o campo magnético devido ao primeiro filamento é:
Passo 10
Agora, fazemos o mesmo para o segundo filamento que vai de $ a $ a $ +\infty $. A parametrização será $ z’ $ de $ a $ a $ +\infty $.
Passo 11
Calculando de forma similar:
Passo 12
Somando os campos dos dois filamentos:
Resposta
O campo magnético $ \mathbf{H} $ no ponto $ z = 0 $ é: