Dois filamentos semi-infinitos no eixo z posicionam-se nas regiões -infty < z < -a e a < z < infty. Em cada um circula uma corrente I na direção az. Calcule H como uma função de rho e phi em z=0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre dois filamentos semi-infinitos ao longo do eixo $ z $, cada um carregando uma corrente $ I $ na direção de $ \mathbf{a}_{z} $. Nosso objetivo é calcular o campo magnético $ \mathbf{H} $ em termos das coordenadas cilíndricas $ \rho $ e $ \phi $ no ponto $ z = 0 $. Para isso, vamos precisar aplicar a Lei de Biot-Savart, que nos ajuda a encontrar o campo magnético gerado por correntes elétricas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a Lei de Biot-Savart, que nos dá o campo magnético $ \mathbf{H} $ devido a um elemento de corrente $ I d\mathbf{l} $:
H
Aqui, $ d\mathbf{l} $ é um pequeno pedaço do fio com corrente, $ \mathbf{\hat{r}} $ é o vetor unitário que vai do elemento de corrente até o ponto onde queremos calcular o campo, e $ r $ é a distância entre eles.

Passo 3

Como temos dois filamentos semi-infinitos, vamos calcular o campo magnético devido a cada um separadamente e depois somar os resultados (princípio da superposição). Vamos primeiro considerar o filamento que vai de $ -\infty $ a $ -a $.

Passo 4

Vamos escolher um ponto de observação no plano $ z = 0 $ com coordenadas cilíndricas $ (\rho, \phi, 0) $. Para o filamento que vai de $ -\infty $ a $ -a $, parametrizamos a posição ao longo do fio como $ z’ $ variando de $ -\infty $ a $ -a $.

Passo 5

O elemento de corrente é $ d\mathbf{l} = \mathbf{a}{z} dz’ $. O vetor $ \mathbf{r} $ do elemento de corrente até o ponto de observação é $ \mathbf{r} = \rho \mathbf{a}{\rho} + (0 - z’) \mathbf{a}_{z} $, e sua magnitude é $ r = \sqrt{\rho^2 + z’^2} $.

Passo 6

Calculamos o produto vetorial $ d\mathbf{l} \times \mathbf{\hat{r}} $:
dl times r
Isso ocorre porque $ \mathbf{a}{z} \times \mathbf{a}{\rho} = \mathbf{a}_{\phi} $.

Passo 7

Substituindo na Lei de Biot-Savart para este filamento:
H1 = I4pi integral-infty^-a rho(rho^2 + z'^2)^3/2 dz' , aphi

Passo 8

Vamos resolver a integral:
integral-infty^-a rho(rho^2 + z'^2)^3/2 dz' = [ z'rho^2 raizrho^2 + z'^2 ]-infty^-a = -arho^2 raizrho^2 + a^2 - ( 0 ) = -arho^2 raizrho^2 + a^2

Passo 9

Portanto, o campo magnético devido ao primeiro filamento é:
H1 = I4pi ( -arho^2 raizrho^2 + a^2 ) aphi = -I a4pi rho^2 raizrho^2 + a^2 aphi

Passo 10

Agora, fazemos o mesmo para o segundo filamento que vai de $ a $ a $ +\infty $. A parametrização será $ z’ $ de $ a $ a $ +\infty $.

Passo 11

Calculando de forma similar:
H2 = I4pi integrala^infty rho(rho^2 + z'^2)^3/2 dz' , aphi = I4pi [ z'rho^2 raizrho^2 + z'^2 ]a^infty = I4pi ( 0 - arho^2 raizrho^2 + a^2 ) = -I a4pi rho^2 raizrho^2 + a^2 aphi

Passo 12

Somando os campos dos dois filamentos:
H = H1 + H2 = -I a4pi rho^2 raizrho^2 + a^2 aphi + ( -I a4pi rho^2 raizrho^2 + a^2 ) aphi = -I a2pi rho^2 raizrho^2 + a^2 aphi

Resposta

O campo magnético $ \mathbf{H} $ no ponto $ z = 0 $ é:
H

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