Dois filamentos semi-infinitos no eixo
posicionam-se nas regiões
e
. Em cada um circula uma corrente
na direção
. Qual valor de
resultará em uma intensidade de
em
,
, igual à metade do valor obtido para um filamento infinito?
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos dois filamentos semi-infinitos ao longo do eixo $ z $, um indo de $ -\infty $ até $ -a $ e outro de $ a $ até $ \infty $. Ambos transportam uma corrente $ I $ na direção do eixo $ z $. A pergunta é: qual deve ser o valor de $ a $ para que a intensidade do campo magnético $ \mathbf{H} $ no ponto onde $ \rho = 1 $ e $ z = 0 $ seja metade do que seria se tivéssemos um filamento infinito? Vamos usar conceitos de eletromagnetismo, especificamente a Lei de Ampère, para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular o campo magnético $ \mathbf{H} $ gerado por um fio infinito. Pela Lei de Ampère, para um fio infinito com corrente $ I $, a intensidade do campo magnético a uma distância $ \rho $ é dada por:
Esse é o valor que queremos que o campo resultante dos dois filamentos semi-infinitos seja a metade.
Passo 3
Agora, vamos considerar cada filamento semi-infinito separadamente. Para um filamento semi-infinito, o campo magnético gerado a uma distância $ \rho $ é metade do campo de um filamento infinito, ou seja:
Como temos dois filamentos, vamos somar os campos magnéticos gerados por cada um no ponto $ \rho = 1 $, $ z = 0 $.
Passo 4
Somando os campos dos dois filamentos semi-infinitos:
Percebemos que o campo total resultante dos dois filamentos semi-infinitos é igual ao campo de um fio infinito. No entanto, queremos que seja metade disso.
Passo 5
Para que o campo total seja metade do campo de um fio infinito, devemos ajustar a contribuição de cada filamento. Isso significa que precisamos que a distância $ a $ influencie de modo que cada semi-infinito contribua com menos campo. Nesse caso, o ajuste necessário é que $ a = \rho $.
Resposta
O valor de $ a $ que satisfaz a condição é $ a = 1 $.