Questão 3.
Um tubo de um órgão possui dois harmônicos sucessivos com frequências iguais a 105 Hz e 120 Hz . Mostre efetuando alguns cálculos, que harmônicos são esses se esse tubo for: (i) um tubo aberto

Passo 1

O enunciado dá duas frequências de harmônicos sucessivos de um tubo: \;105\\ \text{Hz}\; e \;120\\ \text{Hz}\;. A pergunta é: identificar quais harmônicos (isto é, os números n) correspondem a essas frequências no caso de um tubo aberto.\n
Informações relevantes dadas:
\;f_a=105\\ \text{Hz}\;, \;f_b=120\\ \text{Hz}\; e são harmônicos sucessivos (ou seja, correspondem a n e n+1 para algum n).

Passo 2

Conhecimento fundamental necessário (explicado com calma): para um tubo aberto em ambas as extremidades, os harmônicos são múltiplos inteiros do fundamental. Em fórmula:
f_n = n\,f_1,\qquad n=1,2,3,\dots
onde \;f_n\; é a frequência do n-ésimo harmônico e \;f_1\; é a frequência fundamental (primeiro harmônico). Isso significa que os harmônicos estão igualmente espaçados em frequência e a diferença entre harmônicos consecutivos é exatamente a frequência fundamental:
f_{n+1}-f_n = f_1.

Passo 3

Aplicando ao nosso caso: como \;105\\ \text{Hz}\; e \;120\\ \text{Hz}\; são consecutivos, a diferença entre eles é a frequência fundamental. Calcule a diferença:
\Delta f = 120 - 105 = 15\\ \text{Hz}.

Passo 4

Conclusão imediata: a frequência fundamental do tubo aberto é
f_1 = \Delta f = 15\\ \text{Hz}.
Aqui eu usei a propriedade que mostrei no Passo 2: a diferença entre dois harmônicos consecutivos vale \;f_1\;.

Passo 5

Agora encontramos os números dos harmônicos dividindo cada frequência por \;f_1\;.
Para \;105\\ \text{Hz}\;:
n = \frac{105}{15} = 7.
Para \;120\\ \text{Hz}\;:
n+1 = \frac{120}{15} = 8.
Portanto \;105\\ \text{Hz}\; é o 7^\text{o} harmônico e \;120\\ \text{Hz}\; é o 8^\text{o} harmônico.

Resposta

\;105\\ \text{Hz} é o 7^\text{o} harmônico\n
\;120\\ \text{Hz} é o 8^\text{o} harmônico

Exercícios relacionados