Dois fios feitos do mesmo material têm os mesmos comprimentos, mas diâmetros diferentes. Eles são conectados em série a uma bateria. A quantidade que NÃO é a mesma para os fios é:
Escolha uma opção:
a. a densidade de corrente
b. a corrente
c. a diferença de potencial ponta a ponta
d. o campo elétrico
e. a velocidade de deriva do elétron
Passo 1
O enunciado diz: dois fios feitos do mesmo material têm os mesmos comprimentos (digamos
) e diâmetros diferentes (logo áreas transversais diferentes,
). Eles estão conectados em série a uma bateria. A pergunta é: qual das quantidades listadas NÃO é a mesma para os dois fios?
Informações relevantes dadas:
Informações relevantes dadas:
As opções são: (a) densidade de corrente, (b) corrente, (c) diferença de potencial ponta a ponta, (d) campo elétrico, (e) velocidade de deriva do elétron.
A resolução começa agora.
A resolução começa agora.
Passo 2
Primeiro conceito importante: corrente em conexão em série. Em regime estacionário, a corrente que passa por elementos conectados em série é a mesma em todos eles (conservação de carga / lei de Kirchhoff para correntes). Escrevendo:
Aqui
é a corrente elétrica (quantidade de carga por unidade de tempo atravessando uma seção). Então a opção (b) — a corrente — é a mesma para os dois fios.
Passo 3
Agora definimos densidade de corrente. A densidade de corrente
(módulo
para nosso caso unidimensional) é a corrente por unidade de área da seção transversal:
Explicando as variáveis:
é a corrente (A),
é a área da seção transversal (m^2), e
tem unidades A/m^2. Como
é a mesma para ambos mas
, temos
portanto
. Conclusão: a densidade de corrente NÃO é a mesma entre os fios. Isso responde a (a), mas ainda vamos ver as outras grandezas para entender tudo direitinho.
Passo 4
Relação entre densidade de corrente e campo elétrico (lei microscópica de Ohm). Para um material ôhmico homogêneo existe a relação
onde
é a condutividade do material (e
é a resistividade). Em módulo:
Como os fios são do mesmo material,
(ou
) é igual para ambos. Mas já vimos que
; então
Portanto o campo elétrico interno nos fios também NÃO é o mesmo. A opção (d) é diferente em cada fio.
Passo 5
Diferença de potencial (queda de tensão) ao longo de um fio de comprimento
. A relação entre campo elétrico e diferença de potencial, quando o campo é uniforme ao longo do fio, é
Como os comprimentos são iguais (
igual nos dois fios) mas os campos
e
são diferentes, as quedas de potencial também serão diferentes:
Logo a diferença de potencial ponta a ponta de cada fio NÃO é a mesma. A opção (c) também é diferente entre os fios.
Passo 6
Velocidade de deriva dos elétrons. A velocidade média de deriva
relaciona-se com a densidade de corrente por
onde
é a densidade de portadores (número de elétrons por unidade de volume) e
é a carga elementar (valor absoluto). Reescrevendo:
Para o mesmo material e mesma temperatura,
e
são iguais nos dois fios; porém
. Logo
Conclusão: a velocidade de deriva dos elétrons também NÃO é a mesma. A opção (e) é diferente.
Passo 7
Resumo das conclusões:
- Corrente:
(a mesma) — opção (b) é a mesma. - Densidade de corrente:
— opção (a) NÃO é a mesma. - Campo elétrico:
— opção (d) NÃO é a mesma. - Diferença de potencial em cada fio:
— opção (c) NÃO é a mesma. - Velocidade de deriva:
— opção (e) NÃO é a mesma.
Como a pergunta pede uma opção entre as listadas que NÃO é a mesma, a opção (a) é correta (além de outras, mas a alternativa (a) é certamente diferente entre os fios). Vou indicar a alternativa pedida.
Resposta
a. a densidade de corrente