Dois fios idênticos longos e paralelos de raio R e separados uma distância d (d » R)». Mostre que a capacitância por unidade de comprimento é dado por:
CL=pi epsilon0ln (d-RR)

Passo 1

O enunciado pede a capacitância por unidade de comprimento de dois fios cilíndricos idênticos, raio R, separação de centros d, com dgg R. Vamos modelar cada fio por uma linha de carga de densidade pmlambda e usar: (i) campo de linha infinita, (ii) relação entre diferença de potencial e capacitância.

Passo 2

O campo elétrico de uma linha infinita de densidade lambda é
E(r)=lambda2piepsilon0,r
radialmente para fora se lambda>0. Colocando carga +lambda no fio 1 (eixo em x=0) e -lambda no fio 2 (eixo em x=d), num ponto entre eles, a distância ao fio 1 é x e ao fio 2 é d-x.

Passo 3

Nessa reta que une os centros, ambos os campos apontam de +lambda para -lambda, então o módulo resultante é
E(x)=E1(x)+E2(x) =lambda2piepsilon0l(1x+1d-xr)

Passo 4

A diferença de potencial entre as superfícies (de x=R até x=d-R) é
V=integralR^,d-RE(x),dx =lambda2piepsilon0integralR^d-Rl(1x+1d-xr)dx

Passo 5

Calculando as integrais,
integralR^d-R1x,dx =lnd-RR, integralR^d-R1d-x,dx =lnd-RR,
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V =lambda2piepsilon0,2lnd-RR =lambdapiepsilon0lnd-RR

Passo 6

Por definição, tfracCL=tfraclambdaV. Substituindo V obtido,
CL =lambdalambdapiepsilon0lnd-RR =piepsilon0lnl(d-RRr)

Resposta

CL =piepsilon0ln!l(tfracd-RRr)

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