Duas bobinas de auto indutância e , respectivamente, e indutância mútua , estão ligadas em série. (a) Mostre que a indutância do sistema é dada por
e discuta a origem do duplo sinal no último termo. (b) Considere, agora, que em vez de estarem ligadas em série, que tais bobinas estejam ligadas em paralelo. Mostre que a indutância do sistema é dada por
Passo 1
Beleza, então o que a questão tá pedindo? A gente tem duas bobinas (indutâncias) L₁ e L₂ que estão acopladas entre si com indutância mútua L₁₂.
Parte (a) quer que a gente mostre que, quando essas bobinas estão em série, a indutância equivalente é
e explique por que aparece esse “±”.
Parte (b) pede o caso em paralelo, mostrando que
Para isso vamos precisar de:
A definição de fluxo ligado (flux linkage) em bobinas acopladas:
A relação tensão–fluxo:
A “convenção dos pontos” (dot convention), que é de onde sai o sinal ± em cada caso.
Passo 2
Em série, a mesma corrente percorre as duas bobinas:
O fluxo total ligado (λ_total) é a soma dos fluxos de cada bobina:
se as correntes entrarem ambas no ponto “dot” (caso “auxiliado”).
Se elas entrarem em pontos opostos, o termo cruzado muda de sinal e vira .
3) A indutância equivalente é definida por
O “±” é justamente porque, dependendo de como os pontos “dot” estão ligados, o fluxo mútuo pode ajudar (+) ou se opor (–) ao fluxo próprio.
Passo 3
Em paralelo, a tensão nas duas bobinas é a mesma:
E a corrente total é
Escrevendo as equações de tensão em função das derivadas de corrente:
Isso é um sistema linear em , . Se a gente inverter a matriz
, obtém:
Somando as duas derivadas de corrente dá
A indutância equivalente em paralelo vem de
e, de novo, se os “dots” estiverem ligados de modo a inverter o sinal do fluxo mútuo, trocamos por no denominador.]
Resposta
(a) Série:
L = L1 + L2 pm 2,L12
O “±” vem de a corrente poder entrar nos “dots” de forma que o fluxo mútuo ajude (+) ou se oponha (–).