Duas bobinas de auto indutância L1 e L2, respectivamente, e indutância mútua L12, estão ligadas em série. (a) Mostre que a indutância do sistema é dada por
L=L1+L2 pm 2 L12
e discuta a origem do duplo sinal no último termo. (b) Considere, agora, que em vez de estarem ligadas em série, que tais bobinas estejam ligadas em paralelo. Mostre que a indutância do sistema é dada por
L=L1 L2-L12^2L1+L2 mp 2 L12

Passo 1

Beleza, então o que a questão tá pedindo? A gente tem duas bobinas (indutâncias) L₁ e L₂ que estão acopladas entre si com indutância mútua L₁₂.
Parte (a) quer que a gente mostre que, quando essas bobinas estão em série, a indutância equivalente é
L = L1 + L2 pm 2L12
e explique por que aparece esse “±”.
Parte (b) pede o caso em paralelo, mostrando que
L = L1L2 - L12^2,L1 + L2 mp 2L12,
Para isso vamos precisar de:
  1. A definição de fluxo ligado (flux linkage) em bobinas acopladas:
lambda1 = L1i1 + L12i2, lambda2 = L12i1 + L2i2
  1. A relação tensão–fluxo:
v = dlambdadt
  1. A “convenção dos pontos” (dot convention), que é de onde sai o sinal ± em cada caso.

Passo 2

  1. Em série, a mesma corrente percorre as duas bobinas:
i1 = i2 = I
  1. O fluxo total ligado (λ_total) é a soma dos fluxos de cada bobina:
lambdarm eq = lambda1 + lambda2 = l(L1I + L12Ir) + l(L12I + L2Ir) = l(L1 + L2 + 2L12r)I,
se as correntes entrarem ambas no ponto “dot” (caso “auxiliado”).
Se elas entrarem em pontos opostos, o termo cruzado muda de sinal e vira
-2L12.
3) A indutância equivalente é definida por
L = lambdarm eqI = L1 + L2 pm 2L12
O “±” é justamente porque, dependendo de como os pontos “dot” estão ligados, o fluxo mútuo pode ajudar (+) ou se opor (–) ao fluxo próprio.

Passo 3

  1. Em paralelo, a tensão nas duas bobinas é a mesma:
E a corrente total é
  1. Escrevendo as equações de tensão em função das derivadas de corrente:
  1. Isso é um sistema linear em , . Se a gente inverter a matriz
    , obtém:
  1. Somando as duas derivadas de corrente dá
  1. A indutância equivalente em paralelo vem de
e, de novo, se os “dots” estiverem ligados de modo a inverter o sinal do fluxo mútuo, trocamos por no denominador.]

Resposta

(a) Série:
L = L1 + L2 pm 2,L12
O “±” vem de a corrente poder entrar nos “dots” de forma que o fluxo mútuo ajude (+) ou se oponha (–).
(b) Paralelo:
L = L1L2 - L12^2,L1 + L2 mp 2,L12,,
com “∓” por causa da mesma convenção dos pontos.

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