Dois fios longos paralelos são cortados pelo plano x y perpendicularmente. Cada um deles conduz uma corrente I, e no mesmo sentido. O fio 1 e o fio 2 estão, respectivamente, a uma distância +d e-d da origem 0 .
Determine \bar{B} nos pontos P_{1}=-3 d, P_{2} na origem e P_{3}=2 d.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede o campo magnético nos pontos indicados.
  • Há dois fios longos e paralelos, perpendiculares ao plano xy (ou seja, ambos ao longo do eixo z).
  • Cada fio conduz a mesma corrente I e no mesmo sentido (vou tomar esse sentido como positivo em +z).
  • O fio 1 está na posição x=+d e o fio 2 está na posição x=-d (ou seja, eles estão sobre o eixo x, a distâncias \pm d da origem).
  • Precisamos determinar o vetor \bar{B} nos três pontos ao longo do eixo x:
    • P_{1} em x=-3d (ou seja, o ponto -3d sobre o eixo x);
    • P_{2} na origem x=0;
    • P_{3} em x=2d.
Esses são os dados e as perguntas. A partir daqui vamos calcular os campos.

Passo 2

Princípio usado e fórmula básica (superposição).
  • Para um fio infinito retilíneo que conduz corrente I ao longo do eixo z, o módulo do campo magnético a uma distância radial r do fio é dado pela fórmula padrão (resultado do teorema de Ampère / Lei de Biot–Savart para fio infinito):
B(r)=\frac{\mu_0 I}{2\pi r},
onde \mu_0 é a permeabilidade do vácuo e r é a distância perpendicular do ponto até o eixo do fio.
  • O campo é tangencial às circunferências centradas no fio (direção azimutal \hat{\varphi}). Para corrente em +z, a regra da mão direita dá a direção do campo: envolvendo o fio, o campo circula no sentido anti-horário visto de cima. Em coordenadas cartesianas, num ponto sobre o eixo x (ou seja, y=0), a direção do campo devido a um fio localizado em x=a é:
    • \hat{y} (positiva) se o ponto está à direita do fio (isto é, se x_{\text{ponto}}-a>0);
    • -\hat{y} se o ponto está à esquerda do fio (isto é, se x_{\text{ponto}}-a<0).
  • Como há dois fios, aplicamos princípio da superposição: o campo total no ponto é a soma vetorial dos campos gerados por cada fio.

Passo 3

Como identificar a distância e o sinal para um fio em x=a num ponto ao longo do eixo x.
  • Para um fio em x=a e um ponto em x=x_0 no eixo x:
    • a distância perpendicular é r=|x_0-a|;
    • o sinal da componente em y é dado pelo sinal de (x_0-a): se positivo, contribuição em +\hat{y}; se negativo, em -\hat{y}.
Vou usar isso para cada fio e ponto.

Passo 4

Cálculo em P_{1} com x_{P_1}=-3d.
  • Distância do ponto até o fio 1 (fio 1 em x=+d):
    r_1 = |(-3d)-(+d)| = | -4d | = 4d.
    Como (-3d)-(+d)=-4d<0, o ponto está à esquerda do fio 1, então a contribuição do fio 1 tem direção -\hat{y}.
    Módulo da contribuição do fio 1:
    B_1 = \frac{\mu_0 I}{2\pi r_1} = \frac{\mu_0 I}{2\pi (4d)} = \frac{\mu_0 I}{8\pi d}.
    Vetor:
    \bar{B}_1 = -\frac{\mu_0 I}{8\pi d}\,\hat{y}.
  • Distância do ponto até o fio 2 (fio 2 em x=-d):
    r_2 = |(-3d)-(-d)| = | -2d | = 2d.
    Como (-3d)-(-d)=-2d<0, o ponto está à esquerda do fio 2, então a contribuição do fio 2 também é em -\hat{y}.
    Módulo da contribuição do fio 2:
    B_2 = \frac{\mu_0 I}{2\pi r_2} = \frac{\mu_0 I}{2\pi (2d)} = \frac{\mu_0 I}{4\pi d}.
    Vetor:
    \bar{B}_2 = -\frac{\mu_0 I}{4\pi d}\,\hat{y}.
  • Soma vetorial (mesma direção -\hat{y}):
    \bar{B}(P_1)=\bar{B}_1+\bar{B}_2 = -\left(\frac{\mu_0 I}{8\pi d}+\frac{\mu_0 I}{4\pi d}\right)\hat{y}.
    Fazer a soma numérica:
    \frac{1}{8}+\frac{1}{4}=\frac{1}{8}+\frac{2}{8}=\frac{3}{8},
    portanto
    \bar{B}(P_1)=-\frac{3\mu_0 I}{8\pi d}\,\hat{y}.

Passo 5

Cálculo em P_{2} com x_{P_2}=0 (origem).
  • Distância até o fio 1 ( x=+d):
    r_1 = |0-(+d)| = d.
    Aqui 0-(+d)=-d<0, então a contribuição do fio 1 em -\hat{y}.
    Módulo:
    B_1=\frac{\mu_0 I}{2\pi d}.
    Vetor:
    \bar{B}_1 = -\frac{\mu_0 I}{2\pi d}\,\hat{y}.
  • Distância até o fio 2 ( x=-d):
    r_2 = |0-(-d)| = d.
    Aqui 0-(-d)=+d>0, então a contribuição do fio 2 em +\hat{y}.
    Módulo:
    B_2=\frac{\mu_0 I}{2\pi d}.
    Vetor:
    \bar{B}_2 = +\frac{\mu_0 I}{2\pi d}\,\hat{y}.
  • Soma vetorial:
    \bar{B}(P_2)=\bar{B}_1+\bar{B}_2 = -\frac{\mu_0 I}{2\pi d}\,\hat{y}+\frac{\mu_0 I}{2\pi d}\,\hat{y}=0.
    Portanto o campo na origem se anula (os dois fios iguais e simétricos produzem campos opostos e de mesma magnitude).

Passo 6

Cálculo em P_{3} com x_{P_3}=2d.
  • Distância até o fio 1 ( x=+d):
    r_1 = |2d-(+d)| = d.
    Aqui 2d-(+d)=+d>0, o ponto está à direita do fio 1, então contribuição em +\hat{y}.
    Módulo:
    B_1=\frac{\mu_0 I}{2\pi d}.
    Vetor:
    \bar{B}_1 = \frac{\mu_0 I}{2\pi d}\,\hat{y}.
  • Distância até o fio 2 ( x=-d):
    r_2 = |2d-(-d)| = 3d.
    Aqui 2d-(-d)=3d>0, o ponto está à direita do fio 2, então contribuição também em +\hat{y}.
    Módulo:
    B_2=\frac{\mu_0 I}{2\pi (3d)} = \frac{\mu_0 I}{6\pi d}.
    Vetor:
    \bar{B}_2 = \frac{\mu_0 I}{6\pi d}\,\hat{y}.
  • Soma vetorial (ambas em +\hat{y}):
    \bar{B}(P_3)=\bar{B}_1+\bar{B}_2 = \left(\frac{\mu_0 I}{2\pi d}+\frac{\mu_0 I}{6\pi d}\right)\hat{y}.
    Somando frações:
    \frac{1}{2}+\frac{1}{6}=\frac{3}{6}+\frac{1}{6}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3},
    então
    \bar{B}(P_3)=\frac{2\mu_0 I}{3\pi d}\,\hat{y}.

Resposta

\bar{B}(P_1)=-\dfrac{3\mu_0 I}{8\pi d}\,\hat{y}
\bar{B}(P_2)=0
\bar{B}(P_3)=\dfrac{2\mu_0 I}{3\pi d}\,\hat{y}

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